基于画法几何的异面直线间夹等角连线的一般解法.docx

基于画法几何的异面直线间夹等角连线的一般解法朱凤军(吉林工业职业技术学院 机电系 ,吉林 吉林 132013)摘 要 :依据空间分析 ,对异面直线间夹等角连线问题做了研究 ,给出了解决该类题目一种新的思路和方法.关键词 :异面直线 ; 基于画法几何的异面直线间夹等角连线的一般解法 朱凤军 (吉林工业职业技术学院 机电系 ,吉林 吉林 132013) 摘 要 :依据空间分析 ,对异面直线间夹等角连线问题做了研究 ,给出了解决该类题目一种新的思路和方法. 关键词 :异面直线 ;等角 ;连线 ;角平分面 ;投影方向 中图分类号 :O185 文献标识码 :A 文章编号 :1000 - 1840 - (2007) 03 - 0102 - 02 在画法几何的度量问题中 ,关于求作异面直线 间的满足某些条件的连线问题 ,一向被普遍认为是 量大面广的一类具有相当难度的图解问题 ,往往使 人感到束手无策. 经常接触并研究这类题目可以深 化对画法几何核心知识和基本解题方法的理解和运 用 ,对提高形象思维和逻辑思维能力 ,加强自身业务 素质建设帮助很大. 综观交叉直线间的各种连线问 题 ,题目各异 ,条件千变万化 ,但在解题的实践中 ,笔 者发现从题目的基本要求出发还是可以找出其一些 共同特点和形式的. ∴ △Q CM 1 ≌ △D CM 1 ∠Q CM 1 = ∠D CM 1 则 ∠D CM 1 = ∠CM 1 A CM 1 即为所求. 符合基本条件的连线几何轨迹的证明 图 1 中 , A B 与 CD 为异面直线 , 将 A B 平移至 1 图 1 图 2 同理 , 若将 A B 平移至 E F 交 CD 于 G , 则 ∠D G F 的角平分面 P2 与 A B 交于 M 2 , ∠D G M 2 = ∠G M 2 A , 则连线 GM 2 即为所求. 因此 , 可得结论 :与异面直线夹等角的连线有无 限多 , 且均位于异面直线间一系列角平分面中. C K 后 , 作 ∠D C K 的角平分面 P1 ( 取 Q C = = O Q ) , 且与 A B 交于 M 1 D C , O D 在平面 A B C K 中 : ∵ A B ∴ ∠KCM 1 = ∠CM 1 A 连 M 1 Q , M 1 O , M 1 D , ∥ C K 在 △Q O M 1 及 △D O M 1 中 : ∵ O D ∠D O M 1 = ∠Q O M 1 ( 直角) O M 1 为公共边 ∴ △Q O M 1 ≌ △D O M 1 Q M 1 = D M 1 = O Q 题例分析与作图 很明显 , 题目仅符合夹等角这一基本条件解将 是不定的 , 只有进而考虑其它附加条件才能得到唯 一的解 , 这也是我们在解决画法几何综合题目时的 基本思想. 下面列举几个题例 , 阐述笔者对这类连线 问题的理解和处理方法. 2 在 △Q CM 1 及 D M 1 = Q M 1 CM 1 为公共边 △D CM 1 中 : ∵ CD = CQ 例 1 求异面直线 A B 和 CD 间的距离 ( 或谓 : 求异面直线 A B 与 CD 间的公垂线) . 收稿日期 :2007 - 07 - 12 作者简介 :朱凤军( 1954 - ) ,男 ,吉林省舒兰市人 ,现为吉林工业职业技术学院副教授. 研究方向 :工程图学及 CAD. — 102 — 本题便是一般画法几何教材中常见的题目 , 习惯的解法 : 其一 , 采用二次变换 , 将两直线之 本题便是一般画法几何教材中常见的题目 , 习 惯的解法 : 其一 , 采用二次变换 , 将两直线之一 A B 变换成垂直线 , 使其投影积聚 , 然后由积聚点作另一 直线 CD 新投影的垂线 , 由该垂线返求得公垂线在 原投影面体系中的投影 ; 其二 , 不变换 , 过其中一条 直线 A B 作平面平行另一直线 CD , 然后过 CD 直线 上任一点作平面的垂线 , 进而求垂足再将其平移等 求出公垂线的投影. 本文的思路则与已有解法截然不同 , 而是建立 在前面证明的基础之上. 凡与异面直线成等角的连 线一定在一系列如图 1 所示的角平分面 Pi 上 , 则所 夹角相同且为直角的连线一定垂直于 CD 和 A B 平 移至和它相交后所确定的平面 , 即连线方向可定 , 有 了连线方向问题便不难解决. 图 2 是其求解过程 , 将 CD 平移至 B E , 作 A B 交 B E 平面的垂线 B F , 以 B F 为准进行二次变换 , 则 M N 连线积聚 , 再返求在 V 、H 原体系中的投影. 平面 Q 夹定角的连线. 本题归结为所求连线既要在 Pi 上 , 又要与 Q 面 夹定角 , 问