六、-动力学问题的有限元法.ppt

第六单元 动力学问题的有限元法 第三节 质量矩阵和阻尼矩阵 第四节 结构自振频率和振型 第五节 瞬态响应分析 从上面的过程可以看出，振型叠加法似乎需要以求解n阶广义特征值问题为代价来获得非耦合的n个单自由度系统运动方程，以提高方程求解效率。 当模型的规模很大时，求n阶广义特征值问题的计算耗费极高。事实上，对于实际问题，通常只需要利用前面较少数目的振型进行坐标变换就能得到足够满意的解。也就是说只需要考虑前面部分振型对解的贡献。高阶振型对结构响应的影响通常较小。 此外，对于非线性问题通常不能采用振型叠加法，因为结构刚度矩阵随时间变化，系统特征解也随时间变化。 从上面三个方程联立可推出从 t 时刻的运动参量计算 t+Δt 时刻位移的公式： 由于从上式求解 t+Δt 时刻位移时需要对非对角的等效 刚度阵求逆，因此称为隐式算法。 当算法中的参数满足一定条件时，该算法是无条件稳定 的。此时，步长的选择取决于解的精度，可以根据对结 构响应有主要贡献的若干基本振型的周期来确定。通常 可取为所要考虑的基本振型周期中最小周期的二十分之 一。 对结构动力学问题，所关心的较低阶振型的周期比全系统的最小周期大得多，也就是无条件稳定的隐 式算法可以采用比有条件稳定的显式算法大得多的时间步长，而采用较大时间步长还可以滤掉不精确的高阶响应成分。 2、振型叠加法 振型叠加法是计算结构瞬态响应的另一种数值方法。该方法利用结构固有振型对动力学方程组进行变换，缩减未知量规模，并对运动方程组进行解耦，大幅度提高数值求解的效率。 由于在结构动力学分析过程中，计算固有频率、固有振型是评价结构动态特性之必需，故振型法响应分析是常规模态分析的自然延伸。 此变换的意义： 变换把结构的瞬态位移响应从以有限元网格节点位移为基向量n维空间转换到以固有振型为基向量的n维空间。这里 看成广义位移基向量，xi 是广义位移分量。数学上看，是离散系统位移在两个不同向量空间之间的变换。 振型叠加法的基本思想如下。 首先引入变换： 其中： 并且两边左乘 ，并考虑到 的正交性，则得到新向量空间内的运动方程： 将上述变换代入有限元运动方程 如果方程中的阻尼矩阵是振型阻尼阵，利用主振型的正交性可得： 成为对角方阵。 则 其中ξi定义为第i阶振型的阻尼比。在此情况下，上面变换后的方程就成为n个相互独立的二阶常微分方程： 在求出每个振型坐标上的位移分量xi后，再按前面的变换关系得到节点自由度上的位移响应： 讨论： * * 第一节 变形体动力学问题概述 变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。 这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程结构、弹性介质。 根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性，一般意义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。 指边界条件和/或体力变化缓慢，或者物体内加速度分布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程中忽略了惯性项，但载荷是时间的函数。在某时刻t，采用动静法将整体惯性力转化为体力，或者忽略惯性力。对应此刻载荷的静力学解作为t时刻的解。工程上可取随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态解。 尽管这种静态情况在实际上并不存在，但作为一种基本力学模型，在工程实践上具有重要意义。很多实际问题可近似归入准静态问题，而满足工程上的精度要求。 准静态问题 通过这种近似处理，可以避免大量的动力学模型解算，而在有限的计算机资源下，可把实际问题的模型在准静态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下，由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假设产生的误差。 至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资源情况等。 结构动力学问题 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应分析；响应谱分析等。 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是，载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作用随时间剧烈变化的载荷。 结构动力学问题在工程中具有普遍性。 弹塑性动力学问题 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击，人工地震勘探，无损探伤等。 这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。 这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件高速碰撞或爆炸载荷产生。 对于上述后两类问题，描述质点平衡和运动的微分