多项分布的数学期望_协方差阵_特征函数及母函数.docx

多项分布的数学期望 、协方差阵 、特征函数及母函数陈世录 ,刘瑞元( 青海师范大学 数学系 ,青海 西宁 810008)摘 要 :本文讨论了多元分布的数学期望 、协方差阵 ,特征函数及母函数 ,得到了一系列应用公式.关键词 :多项分布 ;协方差阵 ;特征函数文章编号 :1001 多项分布的数学期望 、协方差阵 、特征函数及母函数 陈世录 ,刘瑞元 ( 青海师范大学 数学系 ,青海 西宁 810008) 摘 要 :本文讨论了多元分布的数学期望 、协方差阵 ,特征函数及母函数 ,得到了一系列应用公式. 关键词 :多项分布 ;协方差阵 ;特征函数 文章编号 :1001 - 7542 (2003) 02 - 0010 - 04 中图分类号 :O211 . 2 文献标识码 :A 1 引言与预备知识 关于多项分布至今未见有文献对其进行较深入讨论 , 本文对多项分布的数学期望 、协方差阵 、特征 函数及母函数进行了研究 , 得到一些便于应用的公式 . 定义 1 . 1[1 ] 若 r 维随机变量 ( x1 , P ( x1 = n1 , , x r) 的概率分布为 n ! n n , xr = nr) = n (1. 1) ! p11 p r r ! n r 1 r r 其中诸 ni 为非负整数 , 且 ∑ni = n , 0 ≤pi ≤1 , i = 1 , , r , ∑pi = 1 , 则称 ( x1 , , x r) 服从多项分布 , i = 1 i = 1 记为 M ( n , p1 , , pr) . 引理 1 . 1[1 ] 设 r 维随机变量 ( x1 , 边沿分布为 , x r) 服从多项分布 M ( n1 , p1 , , pr) , 则它关于第 i 个分量的 n ! n n - n P ( xi = ni ) = n ! pi i (1 - pi ) i , i = 1 , , r. (1. 2) ! ( n - n i ) i 引理 1 . 2[2 ] 设随机变量 x 服从二项分布 b ( n , p) , 则 x 的数学期望 E ( x) = np , x 的方差 V ar ( x ) = npq . 2 多项分布的数学期望与协方差阵 定理 2 . 1 设 r 维随机变量 ( x1 , , xr) 服从多项分布 M ( n , p1 , , pr) , 则其数学期望 E ( x1 , , r , 的方差为 xr) = ( np1 , , npr) (2. 1) 随机变量 xi , i = 1 , bii = V ar ( xi ) = npi qi , i = 1 , , r ( 2. 2) 其中 qi = 1 - pi . 证明 由设 r 维随机变量 ( x1 , , xr) 服从多项分布 M ( n , p1 , , pr) , 又由引理 1 . 1 知第 i 个分量 xi , i = 1 , , r , 服从二项分布 b ( n , pi ) , 又由引理 1. 2 知 xi 的数学期望与方差分别为 E ( xi ) = npi , V ar ( xi ) = npi qi , i = 1 , ( 2. 3) r , 于是随机向量 ( x1 , xr) 的数学期望 E ( x1 , xr) = ( np1 , , npr) . 第 i 个分量的方差 收稿日期 :2002 - 10 - 28 作者简介 :陈世录 ( 1947 - ) , 男 ( 汉族) , 重庆人 , 青海师范大学副教授. 第 2 期陈世录 ,刘瑞元 :多项分布的数学期望 、协方差阵 、特征函数及母函数11bii = V ar ( xi ) = npi qi , i = 1 ,, r. 证毕.引理 2 . 1 设 r 维随机变量 ( x1 , x r) 服从多项分布 M ( n , p1 ,1 ≤i ≤j ≤r的边沿分布为, pr ) , 则它关于两个分量 ( xi , xj ) , n ! n nn - n - nP ( xi = ni , xi = nj) = n! pi i pj j ( 1 - pi - pj)( 2. 4)i j .! 第 2 期 陈世录 ,刘瑞元 :多项分布的数学期望 、协方差阵 、特征函数及母函数 11 bii = V ar ( xi ) = npi qi , i = 1 , , r. 证毕. 引理 2 . 1 设 r 维随机变量 ( x1 , x r) 服从多项分布 M ( n , p1 , 1 ≤i ≤j ≤r的边沿分布为 , pr ) , 则它关于两个分量 ( xi , xj ) , n