计算方法常微分方程的差分方法.ppt

* 取  取合理的λ，使上述格式具有二阶精度  ——二阶Adams格式 * 假设则：而  显然：λ=-1/2。 * 二阶Adams格式 * 三阶 四阶 * 隐式格式二阶隐式Adams格式 * 三阶隐式Adams格式 四阶隐式Adams格式 * 改进的Adams格式(预报-校正系统)用显式和隐式的Adams格式匹配构造 * 四阶 * 假设 ,则：而 显然： * 校正后的误差 从而有： * 事后估计式 * 令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值， 和 可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。 * 改进后的公式 * Exercises习题3的第13题。 * 收敛性与稳定性 差分方法的基本思想: 通过离散化，将微分方程转化为差分方程(代数方程)。 合理性检验 解的收敛性。 当h=0时，yn是否会收敛到y(xn)? * 收敛性问题 若 ，则称该方法收敛。 * Euler方法的收敛性 Euler格式：看看 * 计算方法 * 3 常微分方程的差分方法 问题的提出 一阶方程的典型解法 * 3.0 问题的提出 数值微分微分的定义 差商公式——三种典型的差商公式 * 典型的微分方程(一阶方程的初值问题) 理论解(解析方法)的局限性 数值解法的重要性——无理论解、仅有离散点。 * 差分方法是一类重要的数值解法 寻求一系列离散节点 x1 x2… xn…上的近似解y1，y2，…，yn，…。 h=xn+1-xn称为步长。 初值问题差分方法的特点： 步进式——求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。 描述这种算法，只要给出从已知信息yn，yn-1， yn-2 ，…计算yn+1的递推公式——差分格式。 求解的核心——消除导数，离散化方法 * 3.1 Euler方法 Euler格式 微分的离散化——差商代替导数 在点xn列出一阶方程 *  显式 图形 * 例题 取h=0.1 * 欧拉方法的误差分析 局部截断误差：在yn=y(xn)为准确的前提下， yn+1-yn的误差。 如果其局部截断误差为O(hp+1)，称该数值方法的精度是p阶的。 Euler格式的精度：一阶方法。 * 隐式Euler方法 向后差商公式。 * 隐式 计算比较困难 一阶方法 * 两步Euler格式——中心差商公式 * 两步 二阶方法 * 3.2 改进的Euler方法 微分方程转化为积分方程 选取不同的数值积分公式——不同的离散方法(差分格式) * 矩形格式 离散化 梯形格式离散化——两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。 * 改进的思路： 先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。 改进的Euler公式 * 或如下平均化形式 * 例题 * 精度分析 思考题——数值积分公式其他形式(思想)的适用性 * 3.3 Runge-Kutta方法 高精度(构造！) 思想核心是如何确定 。 改进的Euler公式 * 的构造 * 二阶Runge-Kutta方法 取xn和xn+p= xn+ph，0p≤1。 合理的确定λ、p，以提高精度。 * 假定yn=f(xn)  从而有 而 有： λp=1/2。——二阶Runge-Kutta格式 * λ=1/2，p=1，改进的Euler公式； λ=1，p=1/2，变形的Euler公式——中点公式； * 三阶Runge-Kutta方法取xn、xn+p、xn+q，0p ≤ q≤1。一般格式一种典型格式 * 四阶Runge-Kutta方法——典型格式 * 例题h=0.2。 解： * 变步长Runge-Ku