《解析几何》：对称问题.ppt

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 探究“解析几何中点、线对称问题” 对称问题 中心对称问题 点关于点的对称 线关于点的对称 轴对称问题 点关于线的对称 线关于线的对称 几种特殊的对称： ①点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为： 关于原点:__________; 关于x轴:__________; 关于y轴: __________; 关于直线y=x:______; 关于直线y=-x:______; 关于直线x=a:_______. ②直线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的直线方程分别为： 关于原点:____________; 关于x轴:____________; 关于y轴: ___________; 关于直线y=x:_________; 关于直线y=-x:________; 关于直线x=a:_________. (-x,-y) (x,-y) (-x,y) (y,x) (-y,-x) (2a-x,y) f (-x,-y)=0 f (x,-y)=0 f (-x,y)=0 f (y,x)=0 f (-y,-x)=0 f (2a-x,y)=0 设直线 则 关于　轴对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿ 关于　轴对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿＿ 关于　　　对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿ 关于　　　对称的直线是＿＿＿＿＿＿ 例1. 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。 一、点关于点对称 解题要点：中点公式的运用 A(x0,y0) P(a,b) (2a-x0，2b-y0) A＇ 一般地，点 A(x0,y0)关于点 P(a,b)的对称点是 (2a-x0，2b-y0) 例2.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。 二、直线关于点对称 法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上 f (x,y)=0 M(x,y) P(m,n) M′ (2m-x,2n-y) f (2m-x,2n-y)=0 法二： l 1 // l 2且P到两直线等距。 例3.已知点M的坐标为(-4,4)，直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点M′的坐标。 三、点关于直线对称 解题要点： k ? kMM′ = -1 MM′中点在l 上 M(x1,y1) M′(x,y) l 例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线l 的方程。 四、直线关于直线对称 解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称 思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？ C1 l C2 M(x,y) M＇ (x1,y1) l1 l2 l1 轴对称应用 例１：已知△ABC的顶点A（4, －1）,B（－4, －5）,角B的内角平分线BE所在直线的方程为 ，求BC边所在直线方程。 B(-4,-5) A(4,-1) M（0,3） x y O E 解决三角形中的角平分线问题 一、点关于点对称 二、点关于直线对称 三、直线关于点对称 四、直线关于直线对称 五、交点问题 六、定点问题 七、反射问题 两条直线的位置关系 ------对称 四类对称 常见运用 变式：△ABC的一个顶点是A（3，-1）， ∠B, ∠C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标·。 x y O A（3,-1） A1(-3,-1) A2(-1,3) B(0,5) C(-5,-5) y=2x+5 例2：一条光线经过点P（2，3），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点Q（1，1），求光线的入射线和反射线的方程。 x y O x+y+1=0 P(2,3) Q(1,1) R(-4,-3) 解决物理光学方面的问题 例3：光线从点P（－3，4）射出，到达x轴上的点Q后，被x轴反射到y轴上的点M ，又被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D（－1，6），求QM所在直线方程。 x O P(-3,4) D(-1,6) y D′(1,6) P′(-3,-4) M Q 例4：已知x,y满足x+y=0，求 的最小值。 解决求最值的有关问题 M′(1,-3) x y O M(3,-1) N(-2,3) y=－x P 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@1