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“函数”一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策 2007年第10期中学教研(数学)?l5? 函数一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策 ●杨一丽(浙江宁波市镇海中学315200) 函数一章的内容贯穿于高中数学的始终,历 来是高考的重点.对于函数本身的内容,如定义域, 值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性,反函数等有 关知识,学生往往容易混淆,而且也会影响对其他各 章知识的理解和综合应用.因此,笔者从学生易犯的 错误出发,通过实例加以说明. 1函数的定义域,值域问题 例1已知函数f()的定义域为[0,1],求 fC)的定义域. 解由,()的定义域为[0,1],可得0≤≤1, 从而0≤≤1,即一1≤≤l,因此,f()的定义域 为[一1,1], 易错点把自变量和原象的概念混淆,误把结 果表示为[0,1]. 评析及解决对策对这一类问题,先要明确函 数中哪一个为自变量,哪一个为原象,如本题中函数 ,()的自变量为,原象为,而求定义域是指求自 变量的取值范围. 例2已知函数,()=lg(∞+2+1). (1)若,()的定义域为R,求实数n的取值范围; (2)若,()的值域为R,求实数n的取值范围. 解(1)因为对任意的ER,函数,()均有意 义,所以口+2+1gt;0恒成立. 1 若口=0,则gt;一÷,不符合题意,故a#O,从而厶 有口gt;0,且△=4—4alt;0,因此,口gt;1. (2)由条件知,必须保证O,X+2+1能取到所 有大于0的数,则 1 若口:0,则gt;一÷,符合题意;二 若a#O,则口gt;0,且△=4—4agt;~0,可得0lt;口≤1. 综上可得0≤口≤1, 易错点将值域为R的问题错误地理解为定义 域为R的问题,也就是将有条件的成立问题错误 地理解为恒成立的问题, 评析及解决对策对这一类问题,先要辨清是 有条件的成立问题还是恒成立的问题,再结合 二次函数的图像,性质及解不等式来解决. 2函数的单调性问题 例3已知函数,()=log(O,X一)在区间[2, 4]上为增函数,求实数n的取值范围. 解令g()=O,X一.当口gt;1时,g()在区间 [2,4]上递增且在[2,4]上g(x)gt;0恒成立,则 f麦≤2; Lg(2)=4a一2gt;0, 所以口gt;÷.又口gt;1,因此口gt;1, 当0lt;口lt;1时,g()在区间[2,4]上递减且在 [2,4]上g()gt;0恒成立,则』寺≥4无解 Lg(41=16a-4gt;0 综上可得口gt;1. 易错点(1)遗漏对对数函数底数n的讨论; (2)遗漏对数中真数大于零的条件. 评析及解决对策复合函数的单调性,当内外 函数的单调性一致时,为增函数;当内外函数的单调 性相异时,为减函数.另外,复合函数的单调区间一 定是定义域的子区间.而对数函数的单调性取决于 底数n,因此要特别注意当对数函数中的底数为参数 时的讨论及对数中真数大于零的条件. 3函数的奇偶性问题 例4讨论下列函数的奇偶性: (1),()=; (2)=, 解(1)考察,()=的定义域,因 为1+cos+sinx≠0,即COSX+sin.x≠一1,所以可以 等于},但≠一},因此,定义域不关于原点对称, 原函数为非奇非偶函数, ? 16?中学教研(数学)2007年第10期 易错点化简函数得 )=1-cosx+sinx 2sin詈+2sin号cos手=——=tanno 2c0s÷+2sin÷cos÷2 就把)误认为是奇函数,原因是在化简的过程中 函数的定义域发生了改变. 评析及解决对策判断函数的奇偶性时,首先 应考察函数的定义域是否关于原点对称.若不对称, 则函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,函 数表达式能化简的,则先化简,然后再考察f(一), 最后根据奇偶性定义判断. 解(2)由1一gt;0及l一2l一2≠0,得) 的定义域为(一1,0)U(0,1),则原函数可化为 ):一, 所以原函数为偶函数. 易错点有的学生会粗略一看,错误地认为 一 )≠),一)≠-f(),得出原函数为非奇 非偶函数. 评析及解决对策对这一类问题,先要考虑函 数定义域,再对函数解析式进行化简后作出判断. 4函数的周期性问题 例5求下列函数的最小正周期: (1)Ylsinxl+lCOSX1. (2)Y= (3)Y= 2一,IT j 2一,IT j 解(1)因为函数 Y=lsinxl+lCOSXl=,/1+lsin2x1. 而函数Y=lsin2xl的周期为-3--,所以所求函数的最- 小正周期为T_.二 易错点有的学生会粗略一看,根据Y=lsinxl 和Y=lc0s引的周期均为叮T,错误地认为函数的最小 正周期为 评析及解决对策先对函数进行等价变形,此 类函数的变形一般是将多个三角函数化为一个三角 函数的形式,再进行求解.