高二年级数学PPT之4_5课件_模块复习课第二课证明不等式的基本方法（共39张PPT).ppt

类型四　反证法与放缩法证明不等式 【典例4】已知0x2,0y2,0z2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1. 【解析】假设x(2-y)1,y(2-z)1,z(2-x)1均成立. 则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)1,…① 由于0x2,所以0x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,同理:0y(2-y)≤1,且0z(2-z)≤1, 所以三式相乘得0xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1,…② ②与①矛盾,故假设不成立.所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1. 【方法技巧】 1.反证法 先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确. 2.放缩法 将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等式由繁化简,达到证明的目的. 【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明: 【证明】设ab0,m0,则 所以 所以 所以 2.设Sn= 求证:不等式 对所有的正整数n都成立. 【证明】因为 且 所以 对所有的正整数n都成立. 谢 谢！ 放映结束 感谢各位的批评指导！ 让我们共同进步 第二课 证明不等式的基本方法 高二数学PPT之4-5课件：模块复习课 第二课 证明不等式的基本方法 （共39张PPT） 【网络体系】 【核心速填】 1.比较法 (1)作差比较法的依据: 若a,b∈R,则______?ab;a-b=0?a=b;______?ab. (2)作商比较法的依据: 若a0,b0,则_____?ab; =1?a=b;_____?ab. a-b0 a-b0 (3)比较法的步骤:作差(商)→变形→判符号(与0(或1)比较大小)→结论. 2.综合法 推证过程: 3.分析法 推证过程: 4.反证法 反设→推理→矛盾→结论. 5.放缩法 分析待证式的形式特点,适当放大或缩小. 【易错警示】 (1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等. (2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. (3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过小”. 类型一　比较法证明不等式 【典例1】设a≥b0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2). 因为a≥b0,所以a-b≥0,3a2-2b22a2-2b2≥0. 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立. 【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤 (1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件. (2)一般步骤: ①作差; ②恒等变形; ③判断结果的符号; ④下结论. 其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形. 【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数. 求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1). 【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1) =an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an). 当ab0时,bn-an0,a-b0,此时(a-b)(bn-an)0; 当ba0时,bn-an0,a-b0, 此时(a-b)(bn-an)0; 当a=b0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0. 综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0. 即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1). 2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π), 求证:2sin2α≤ 【证明】2sin2α- =4sinαcosα- 因为α∈(0,π),所以sinα0,1-cosα0, 又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α- ≤0, 所以2sin2α≤ . 类型二　综合法证明不等式 【典例2】已知a0,a2-2ab