第十章曲面积分.ppt

* 第十章 曲 面 积 分 对面积的曲面积分（第一型曲面积分） 一、对面积的曲面积分的定义 1．定义: 2．物理意义: 二、对面积的曲面积分的性质 1. 线性性质： 2. 可加性： 的曲面 的质量。 表示面密度为 3. 的面积： 三、对面积的曲面积分的计算方法 方法：化为二重积分计算 4. 奇偶对称性： 关键：找到投影区域D,确定二重积分的积分变量 一般有三种方法，究竟利用哪种方法取决于 的方程 中哪个变量能用其它另外两个变量的显示形式 表示，若 的方程既可化为 ，又可化为 或 ，则我们可从三种方法中取优。 0 关于xoy面对称， 为z的奇函数 关于xoy面对称， 为z的偶函数 （1）若 ， 。 （2）若 ， 。 （3）若 ， 。 四、对面积的曲面积分的应用 1．几何应用 求曲面的面积： 2．物理应用 质量 质心 转动惯量 一、对坐标的曲面积分的概念 1．定义 2．物理意义 单位时间内流过曲面 一侧的流量。 表示流体密度 速度场为 , 对坐标的曲面积分（第二型曲面积分） 二、对坐标的曲面积分的性质 1．可加性 2．反号性 3．奇偶对称性 关于xoy面对称，R为z的偶函数 关于xoy面对称，R为z的奇函数 （2）设 ， 。则 前侧取“+”，后侧取“–”。 1．直接投影法（化为二重积分） （1）设 ， 。则 上侧取“+”，下侧取“–”。 三、对坐标的曲面积分的计算方法 或 这里 是 的外侧边界， 为曲线 上点 处的法向量的方向余弦。 2．高斯（Gauss）公式计算法 （3）设 ， 。则 右侧取“+”，左侧取“–”。 4．斯托克斯（Stokes）公式计算法 （这里 是有向曲面 的正向边界曲面) 3．转化为第一型曲面积分计算法 其中 为曲面 在点 处的法向量的 方向余弦。 五、对坐标的曲面积分的解题方法 四、散度与旋度 设 ， 均有一阶连续偏导数。 （1）散度 （2）旋度 确定 对 补上特殊 曲面 确定 的侧 封闭 应用Guass公式 转化为二重积分 在封闭曲面 上应用Gauss公式 求 在各坐标面上的投影 转化为二重积分 Yes No 求 的方向 余弦 转化为第一 型曲面积分 Yes 为平面块 No 解题方法流程图 由上图可以看出，计算第二型曲面积分时，首先应找出函数 特点，考虑将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分来 后将上面二积分相减，便得原曲面积分的值，即 是否封闭，若 是封闭曲面，则可直接利用Gauss公式，将 所求积分转化为三重积分来计算。若 不是封闭曲面，则可 进一步判别 是否为平面块， 是平面块，则可根据题目的 计算。若 不是平面块，此时，一般有两种方法，一种是通 过补特殊曲面 ，使 构成一封闭曲面，然后在封闭曲 面 上应用Gauss公式，并计算在曲面 上的积分，最 ， ， 及积分曲面 ；然后判别 另一种方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来 计算，即直接计算方法。 六、对面积的曲面积分典型例题 【例1】计算曲面积分 ，其中 为平面 在第一卦限中的部分。 分析　因为 ： ，可恒等变形为 ： ， 故我们可采用框图中线路2解题方法求解。又因被积函数 与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 函数，即将 代入，从而简化计算。 解：