两向量的向量积[1].pptVIP

上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology * 二、两向量的向量积 一、两向量的数量积 §7.2 数量积 向量积 一、两向量的数量积 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 数量积的物理背景 由物理学知道, 力F所作的功为 W?|F||s|cos? , 其中? 为F与s的夹角. 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a?b, 即 a·b?|a||b|cos? . 数量积的定义 根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即W?F?s. 一、两向量的数量积 数量积与投影 由于|b|cos??|b|cos(a,^ b), 当a?0时, |b|cos(a,^ b)是向量b在向量a的方向上的投影, 于是 a·b?|a|Prjab. 同理, 当b?0时, a·b?|b|Prjba. 所以, 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a?b, 即 a·b?|a||b|cos? . 数量积的定义 一、两向量的数量积 数量积的性质 (1) a·a?|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a·b?0, 则 a?b; 反之, 如果a?b, 则a·b?0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则 a?b?a·b?0. 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a?b, 即 a·b?|a||b|cos? . 数量积的定义 一、两向量的数量积 数量积的运算律 (1)交换律: a·b?b·a; (2)分配律: (a?b)·c?a·c?b·c. (3)(?a)·b?a·(?b)??(a·b), (?a)·(?b)???(a·b), 其中?、?为数. 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a?b, 即 a·b?|a||b|cos? . 数量积的定义 一、两向量的数量积 例1 试用向量证明三角形的余弦定理. 要证c2=a2+b2-2abcosq . 则有 c?a-b, 从而 |c|2?c?c?(a-b)(a-b) ?a?a+b?b-2a?b ?|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^ b), 即 c2?a2+b2-2abcosq. 证明 在DABC中, ∠BCA?q, |CB|=a, |CA|=b, |AB|=c, 提示： 数量积的坐标表示 a?axi?ay j?azk, b?bxi?by j?bzk, a·b?(axi?ay j?azk)·(bxi?by j?bzk) ?axbxi·i?axbyi·j?axbzi·k ?aybx j·i?ayby j·j?aybz j·k ?azbxk·i?azbyk·j?azbzk·k ?axbx?ayby?azbz . a·b?axbx?ayby?azbz . 设a?(ax? ay? az )? b?(bx? by? bz )? 则 数量积的坐标表示 a·b?axbx?ayby?azbz . 设a?(ax? ay? az )? a?(bx? by? bz )? 则 设??(a?^ b)? 则当a?0、b?0时, 有 向量夹角余弦的坐标表示 提示? a ·b?|a||b|cos? ? 例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求?AM