中南大学高数2.方向导数与梯度重要例题.ppt

备用题 1. 2. 函数 * 设 求 f 沿e = (cosθ , sin θ) 在点 (0,0)的方向导数. 当 cosθ ≠0 时, 当 cosθ = 0时, 因为 f (? cosθ , ? sin θ) = 0 用定义计算方向导数 解 例1 用定理计算方向导数 解 例3. 设 z = 3x4 +xy +y3 , 求z 在M (1,2)点处 沿方向角为?=135° 的方向的方向导数。 解 例4. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 解: 向量 l 的方向余弦为 由点 到坐标原点的距离定 义的函数 在坐标原点处 向导数值都等于 1: 的两个偏导数均不存在, 但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在, 且方 此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件P80-2,7. 例 ∵ ∴ 从而 解 解 由梯度计算公式得 故 函数 在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 提示: 则 例 解 故 例3. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 在点P 处沿 求函数 例5. 设 u = x y + e z , M0(1,-1,0), P(3,-3,1), 求 (1)在 M0 沿M0 P 的方向导数; (2)在 M0 沿曲线x=t , y= t 2-2, z= t –t 3的切线方向的方向导数(本节不讲);(3)在 M0 的最大方向导数与梯度。 解： (1) (3)在 M0 的最大方向导数与梯度: