有限元分析与应用习题课.ppt

12. 一些概念及术语理解 （23）单元刚度矩阵有什么特点？ 答：单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三个重要特性。 （24）单元刚度矩阵的物理意义是什么？ 答: 其正定性的物理意义是位移与载荷方向一致；奇异性是说单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可充分使用。 谢 谢！ 放映结束 感谢各位的批评指导！ 让我们共同进步 9. 简答 （a）总体应力磨平 10. 计算 如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E=1，泊松比v=0；单元的边长a=1及结点编号见下图所示。试求： (1) 形函数矩阵N ； (2) 应变矩阵B和应力矩阵S； (3) 单元刚度矩阵Ke。 10. 计算 解： 设右图所示的各点坐标为 点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0） 于是，可得单元的面积为 ，及 a1=0 a2=0 a3=0 b1=a b2=0 b3=-a c2=a c3=0 c1=-a 10. 计算 解： 设右图所示的各点坐标为 点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0） 于是，可得单元的面积为 ，及 10. 计算 解： 设图1所示的各点坐标为 点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0） 于是，可得单元的面积为 ，及 （1）形函数N为 10. 计算 解： （1）形函数N为 （2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为 10. 计算 解： （1）形函数N为 （2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为 10. 计算 解： （1）形函数N为 （2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为 10. 计算 解： （1）形函数N为 （2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为 10. 计算 解： （2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为 （1）形函数N为 （3） 单元刚度矩阵Ke 10. 计算 解： （3） 单元刚度矩阵Ke 11. 计算 11. 计算 11. 计算 解： 3 （1）根据对称性，计算模型如右图所示。 （2）每个单元的合理局部编号，如右图所示。所谓“合理”即使半带宽B最小） 12. 一些概念及术语理解 （1）什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？ 答：平面应力问题是指薄板受平行于板面且沿厚度均布载荷作用，只有xy面上三个应力分量σx，σy，τxy非零。平面应变问题是指长柱体受平行于横截面且沿长度均布载荷作用，只有xy面上三个应变分量εx，εy，γxy非零。 12. 一些概念及术语理解 （2）单元剖分时应注意哪些问题？ 答：规模适当、单元形状尽量接近正多边形、不同材料部分划分在不同单元、不同厚度或不同截面划分在不同单元、集中力作用点及分布载荷密度变化处设置节点、应力集中区域单元划分密度要大、疏密过渡要平缓、希望了解某处位移此处设置节点、边界点设置节点。 12. 一些概念及术语理解 （3）什么是位移模式？位移模式应满足哪些条件？ 答：位移模式是在单元范围内的位移函数，是坐标的函数。 位移模式通常应满足a）反映刚体位移；b）反映常变形；c）单元边界上位移连续，三个条件。 12. 一些概念及术语理解 （4）什么是节点力？什么是节点载荷？ 答：节点力是单元给节点的力或节点给单元的力，等于单元的弹性力；节点载荷是外界作用在弹性体节点上的力。 12. 一些概念及术语理解 （5）什么是单元分析？说说单元分析的大致过程。 答：单元分析就是寻求单元节点力与节点位移之间的关系。单元分析的大致过程：设定位移模式即用节点位移表达单元内任意一点位移、建立应变与位移之间的几何方程、建立应力与应变之间的物理关系、由虚功原理建立节点力与单元内任意一点应力之间的平衡关系，从而得到单元刚度方程。 12. 一些概念及术语理解 （6）单元刚度矩阵有哪些特点？说说它们的物理意义。 答：单元刚度矩阵具有对称性、奇异性，可按节点分块。对称性反映了功的互等关系，奇异性说明单元在无约束情况下可以发生刚体位移，由于每个节点具有相同的自由度，因此单元刚度矩阵可按节点分成若干相似的子块。 功互等定理 对于线弹性体，作用在同一构件上第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功， 12. 一些概念及术语理解 （7）如何引入约束条件？ 答：引入约束条件：a）对角元改1法，将刚度矩阵中有位移约束的自由度对应的行和列对角元改为1，其它元素改为0，载荷向量中对应元素置为已知位移值，其它载荷元素减去已知位移值与该行对应列刚度系数之积。b）乘大数法，将刚度矩阵中有位移约束的自由度对应的行和列对角元乘以一个非常大的数，载荷向量中对应元素改为该大数乘以对角元刚度系数再乘以已知位移值。c）降阶法，将整体方程组中有位移约束的自由度对应的行和列删除，得到一组降阶的修正方程，一