11拉格郎日方程.ppt

* 　 * 　 由拉氏方程： 积分，得： 故： 代入初始条件，t =0 时， 得 * [例4]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2，半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守系统。以物块C的平衡位置为原点，取x为广义坐标： 以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则 * 代入到拉氏方程 得： * 　 [例5] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。 解：系统为保守二自由度系统。取x , ?为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置， ? 逆时针转向为正。 * 　 以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点，则： * 　 由拉氏方程： 并化简得： * 　 系统的运动微分方程。 上式为系统在平衡位置(x =0, ? =0)附近微幅运动的微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时? 1o, cos? 1, sin? ?，略去二阶以上无穷小量，则 * 　 §11-3 拉格朗日方程的积分 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。 保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。 一、能量积分 设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ，则 * * * * * * * * * * 　 本章研究拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。他是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。 * §11-1　广义力 以广义力表示的质点系的平衡条件 设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径 一、广义力 Mi的虚位移（固定时间t）： * 设作用在Mi上的主动力为Fi，则作用于质点系上所有主动力的元功之和： ——对应于广义坐标qj 的广义力 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲：qj：长度，Qj：力； qj：角度，Qj：力矩；广义力的数目=广义坐标的数目。 二、广义力的计算方法 1、解析式 * 　 xi、yi、zi均是广义坐标q1、q2、...、qk及时间t的函数。 2、实际应用时，由 由于各广义坐标彼此独立，所以在求某个广义力Qj时，仅使对应的广义坐标qj变分d qj，而其余的广义坐标则保持不变。即：令d qj≠0， d qi=0（i=1，2，...n，i ≠ j）， * 　 3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置的势能V=V（q1，q2，...，qk） 由式（8-7-8） 这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系，所有主动力的元功之和： 代入解析式得： * 　 可见：在保守系统中，广义力等于质点系的势能函数对相应广义坐标的偏导数并冠以负号。 三、以广义力表示的质点系的平衡条件 当质点系平衡时，由虚位移原理： 由于δqj彼此独立，所以 即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是，系统的所有广义力都等于零。 * 　 例1：两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。 解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离： 以过O点的水平面为零势面，则 系统的平衡条件为： * 　 由此解出θ。 * 　 例2：图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（B不动），此时δsC= δsA /2 * 　 （2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC= δsB /2 系统平衡时有QA= QB=0 由QB= 0 得 W=2P 由QA= 0 得 F=W/2=P * 　 应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并