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淮南矿业技师学院《应用数学》多媒体课件 淮南矿业技师学院《应用数学》课件 淮南矿业技师学院《应用数学》多媒体课件 淮南矿业技师学院《应用数学》课件 淮南矿业技师学院《应用数学》课件 * 第5讲---参数方程及其应用 一、参数方程的复习 二、参数方程的应用 * 学习目标 1、掌握直线、圆和椭圆的参数方程,理解弹道曲线、双曲线和抛物线的参数方程; 2、较熟练地化一般参数方程为普通方程;也能对给定的参数,化一些简单的普通方程为参数方程; 3、理解圆的渐开线和摆线及其参数方程。 * 重 点 难 点 摆线及其参数方程 圆的渐开线 摆线及其参数方程 圆的渐开线 * 一、参数方程的复习 参数方程是曲线方程的一种形式,有些曲线的运动规律难于用x、y的方程直接表示,通过引进第三个变量(假如用t表示),求出对于第三个变量的函数表达式 ① 从而间接地求得x、y之间的关系,找出曲线运动的规律.我们通常把方程①叫做参数方程,相对于参数方程来说,前面学过的直接用x、y的表示曲线的方程,叫做曲线的普通方程. * 引进参数以后,不仅可以求出某些曲线的方程,而且在很多情况下,使曲线方程的形式简单,,便于研究其性质.因此参数方程是解析几何的重要内容之一,它既是进一步学习数学的基础,又是解决科学研究和生产实践的有效工具. 在理解参数方程的概念时,要注意以下几点: (1)在建立参数方程时,要先明确谁是参数; (2)注意参数的取值范围; (3)曲线的参数方程并不唯一; * 一般方程 参数方程(t为参数) 直线 椭圆 双曲线 抛物线 以前我们曾学过一些参数方程的基本知识,如 * 例1:求下列参数方程所表示的曲线: 解:(1)由三角函数公式 可求得 代入另一式化简得 又因为 ,所以 故该参数方程表示的是一条线段,其方程为: * 例1:求下列参数方程所表示的曲线: 解:(2)观察该参数方程的特征可知 所以 即有 化简得: 即该参数方程表示的是一条双曲线,其方程为: * 思考:如果在自行车的轮子上喷一个白色印记,那么自行车在笔直的道路上行使时,白色印记会画出什么样的曲线? 同样地,我们先分析圆在滚动过程中,圆周上的这个动点满足的几何条件:线段OA的长等于弧MA的长,即OA=rφ 我们把点M的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线。 上述问题抽象成数学问题就是:当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹是什么? O A B M 二、参数方程的应用 1.摆线 摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。 * x y O D A E B M C 摆线的参数方程 O A B M 根据点M满足的几何条件,我们取定直线为X轴,定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系。设圆的半径为r。 设开始时定点M在原点,圆滚动了φ角后与x轴相切于点A,圆心在点B。从点M分别作AB、x轴的垂线,垂足分别是C、D。设点M的坐标为(x,y),取φ为参数,根据点M满足的几何条件,有 * P A O B 所以摆线的参数方程为: (其中φ为参数) 每一拱摆线的拱高为2r,拱宽为 拱长为 8r,面积为 * 摆线的应用 由于采用摆线作为齿廓线的齿轮,具有传动精度好、耐磨损等优点,所以在精密度要求较高的钟表工业和仪表工业中,广泛采用摆线作为齿轮的齿廓线。 * 例2:已知摆线的生成圆直径为80mm,写出摆线的参数方程,并求出其一拱的拱高和拱宽. 解:由于摆线的生成圆直径为80mm,所以生成圆的半径为40mm,摆线的参数方程为 (θ为参数) 其一拱的拱高为80mm,拱宽为80mm,约251.3mm. * 2.圆的渐开线及其参数方程 定义: 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的 外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切 而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程? 动点(笔尖)满足什么几何条件? * 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆。 设开始时绳子外端(笔尖)位于点A, 当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角θ的一段弧 展开后成 为切线,所以切线BM的长就是弧 的长。 这就是动点(笔尖)满足的几何条件。 * 渐开线的参数方程 以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立平面直角坐标系。 设基圆的半径为r, 绳子外端M的坐标为(x,y)。 显然,点M由角θ唯一确定。 过点M作 轴,交x轴于点E, 过点B作 ,垂足为点D,交y轴于点C,则 取θ为参数,则 淮南矿业技师学院《应用数学》多媒体课件 淮南矿业技师学院《应用数学》课件 淮南矿业技师学院《应用数学》多媒体课件 淮南矿业技师学院《应用数学》课件 淮南矿业技师学院《应用数学》课件
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