第6章+大数定理和中心极限定理.ppt

2. 3. 4. 5. 8. 10. 例题讲解 一、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为 则下列各式正确的是 。 X=Y (2) P(X=Y)=1/2 (3) P(X=Y)=0 (4) P(X=Y)=1 解 虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y； P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.5?0.5+0.5?0.5=0.5 选答案(2) 二、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X, Y必有 。 解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 由于D(X+Y)=D(X-Y) 得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y) cov(X,Y)=0 ∴ X,Y不相关。 第6章 大数定理和中心极限定理 6.1 大数定理 6.2 中心极限定理 6.1 大数定理 学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 若随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数据的均值(X1+X2+…+X10 )/10与a较接近； 若随意观察100个学生的身高X1, X2 ,…, X100 ，则100个数据的均值(X1+X2+…+X100 )/100与a更接近； 若随意观察n(n＜10000)个学生的身高X1, X2 ,…, Xn ，则n个数据的均值(X1+X2+…+Xn )/n，随着n的增大而与a接近。 定义 设X1， X2，… ，Xn, …是随机变量序列， 如果存在一个常数序列{an}，对 ，有 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律。 定理1 (辛钦大数定理) 设X1, X2 ,…, Xn …是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a，又设它们的方差存在，并记为?2，随机变量的频率为 ，则对任意给定的 ?＞0，有 定理1的意义：随着n的增大， 依概率意义越来越接近a；而 不接近a的可能性越来越小。 (该定理的证明需要用契比雪夫不等式。） 6.1.1 马尔科夫不等式 若X是只取非负值的随机变量，则对任意常数? 0，有 证明 6.1.2 契比雪夫不等式 若D(X)存在，则对任意常数? 0，有 证明 定理1的证明： 6.1.3 伯努利大数定理 (频率收敛于概率) 设pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率( )，在每次试验中P(A)=p是常数，设Xn~B(n，p)，其中n=1,2, …， ( 0＜p＜1)则对任意正数?＞0，有 伯努利大数定理的意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。 但不能说： 。因为可能有 pn ? p 情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。 证明： 6.2 中心极限定理 设X1, X2 ,…, Xn …是一系列随机变量，通常把论证和函数X1+X2+…+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”。 定理2 (莱维－林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、 (独立同分布的中心极限定理) 设X1, X2 , …, Xn…是独立同分布的随机变量，它们有相同的均值E(Xi)=a，和相同的方差为D(Xi)=?2 (0?+?), 则对任意实数x，有 (证明略) 说明：和函数Yn=X1+X2+…+Xn E(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn) = na D(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn) = n?2 将Yn“标准化”： “标准化”后的和函数的分布函数Fn(x): 和函数X1+X2+…+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。 值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不 一定是正态分布。 定理2的意义：若有无数多种因素X1, X2 ,…, Xn …对事物产生影响，每个因素的影响都很小，所有