概率论与数理统计(华工版)第4章.ppt

例4 在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到两个相互独立的信号的时间间隔小于０.５秒，则信号相互干扰。求：两信号相互干扰的概率。 解 把一分钟取作区间[0，1]，设两信号进入收音机的时刻分别为ξ、η（单位：分） ξ、η相互独立，所以(ξ,η)的联合分布密度如下： D 相互独立的概念可以推广到多于两个随机变量的情形。 (1) n个随机变量ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，就是说，对任意个实数x1,x2,…,xn 有 (2) 一系列随机变量ξ1,ξ2,…,ξn ,…相互独立，就是指，对于任意有限个自然数k1,k2,…,kn有 ξk1,ξ k2,…,ξkn相互独立； 定理１和定理２也可以推广到多于两个随机变量的情形。 §4.6 条件分布 对于离散型随机向量，当p.j0时，称 为η=yj条件下ξ的条件分布律。 离散型随机变量的条件分布 当pi.0时，在ξ=xi条件下η的条件分布律 类似地 例1 在整数1~5中任取一数ξ， (1)取ξ后放回去再取另一数η。 (2)取ξ后不放回去再取另一数η。 在这两种情况下分别求(ξ,η)的联合分布律、边缘分布律、P{ξ∣η=2}。 解 连续型随机变量的条件分布 类似地，η的条件分布函数及条件密度函数为 综上所述 例2 设(ξ,η)的密度函数为 设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数为 由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确定，但其逆并不一定成立。 同理 离散型的边缘分布律 二维离散型随机向量(ξ,η)的分量ξ、η都是一维离散型随机变量，ξ、η的分布律分别称为(ξ,η)关于ξ、η的边缘分布律。 设(ξ,η)的联合分布律为P{ξ=xi , η=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布律有 简记为 同理， (ξ,η)关于η的分布律为 例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量 则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）： 表１ 有放回抽样的分布律 η 1 1 0 1 0 ξ η 1 1 0 1 0 ξ 表２ 不放回抽样的分布 设连续型随机变量(ξ,η)的密度函数为φ(x,y)，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数Fξ(x)有 连续型的边缘分布密度函数 其分量ξ是一维连续型随机变量，且ξ的分布密度为 分别称为随机变量(ξ,η)关于ξ，η的边缘分布密度。 同理， 例２ 设(ξ,η)在椭圆 所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为 求它的边缘密度。 解 (1)当︱x︱a时， (2)当︱x︱≤a时， 同理，可得关于η的边缘密度 例３ 设 (ξ,η)服从二维正态分布，其联合分布密度为 求边缘分布密度。 证明： 证： 则 同理: 其中用到： §4.5 随机变量的相互独立性 定义 F(x,y)及Fξ(x)、Fη(y) 分别是(ξ,η)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x、y有F(x,y)= Fξ(x) ·Fη(y) 即 则称随机变量ξ、η是相互独立。 定理１ 设(ξ,η)是二维连续型随机变量，φ(x,y)及φξ(x)、φη(y)分别是(ξ,η)的联合分布密度及边缘分布密度，则ξ、η相互独立的充要条件是：对任意点(x,y)，有 φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y) 证明 若ξ，η相互独立，即有 此式的两边对x及y求导，便可得到 定理２ 设(ξ,η)是二维离散型随机变量，则ξ、η相互独立的充要条件是：对(ξ,η)的任意一组可能值(xi,yj)有 即 证明 只证充分性 即ξ，η相互独立，这就证明了条件的充分性。必要性的证明复杂一些，证明略。 解 表１ 有放回抽样的分布律 η 1 1 0 1 0 ξ 例1 检验§4.4中例１有放回抽样和无放回抽样条件下，ξ、η边缘分布的独立性。 （p36） p56 从表１知：pij=pi.pj. i,j=1,2 所以， ξ，η相互独立。 η 1 1 0 1 0 ξ 表２ 不放回抽样的分布 从表２知： 所以，ξ，η不相互独立。 例2 检验§4.4例２中ξ、η边缘分布的独立性。（p41） 解 显然， 所以，ξ，η不相互独立。 p59 例3 (ξ,η)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，r的二元正态分布,证明ξ、η相互独立的充要条件是r＝0。 证 因为， 充分性 若r=0 ，则对任意实数x，y有 即ξ、η相互独立。