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数学建模初步 数学模型的分类 数学建模的基本方法和步骤 什么是数学模型 数学建模示例 什么是数学模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … 符号模型 什么是数学模型 模型是为了一定目的，对客观事物 的一部分进行简缩、抽象、提炼出 来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的 那一部分特征 什么是数学模型 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程 （包括假设、表述、求解、解释、检验等） 数学模型 数学建模 当今人类面临的五大问题： （1）人口问题；（2）工业化的资金问题； （3）粮食问题；（4）不可再生的资源问题；（5）环境污染问题（即生态平衡问题）。 人口问题名列榜首。 例 人口增长模型 建立人口增长的数学模型，用以描述人口增长过程，通过分析对人口增长进行预测，制定相应的人口政策以控制人口增长，于国于民均有利。 ● 始于1798年, Malthus提出了Malthus人口模型。 例 人口增长模型 ● 1838年, P. F. Verhust，得出了Logistic模型 ● 1924年, G.V.yule于引入概率观点对人口问题进行研究 ● 20世纪40年代后,各种比较精细的人口模型建立起来 ● 按龄离散人口模型由P.H.Leslie在1945年完成 ● 按龄连续型人口模型在1959年由Van.H.Fpoerster提出 ●近年来我国学者为了解决我国人口迅猛增长问题，作了大量调查研究，建立了不少人口模型，为国家制定相应的人口政策提供依据。 影响因素 人口的基数 出生率和死亡率 工农业生产水平 性别 比例 …… 年龄结构 医疗水平 环境污染 只考虑影响人口增长的主要因素——增长率（出生率减去死亡率）及人口基数。 设 表示 t 时刻人口总数和增长率， 则在t到这段时间内人口总数增长为 两端同除以 ，并令 ，有 Malthus模型 假设： 人口增长率是一个常数 . 令 (常数)，得 其解为 检验 据统计1961年全世界人口总数为 在此之前的10年人口按每年2%的速率增长, 因此 于是 这个公式非常准确地反映了在1700-1994年期间世界估计人口总数。 预测 p(2510) = 2,000,000 (亿)； p(2670) = 36,000,000 (亿)； 星球的总表面积约18,600,000亿ft2，80%被水覆盖，到2510年，每人占地面积只有9.3 ft2, 到2670年，每人占地面积只有0.5167 ft2。 显然，这些数字说明Malthus人口模型对长期预测是不正确的。 模型改进： Logistic模型 Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设不怎么合理. 应将净增长率r 看成人口数N的线性函数,设 r(N)=a+ c N,并设r(0)=r,且存在一个数值K 使r(K)=0. 即有 求解得 r(N)=r(1?N/K)，因此 模型分析 得到Logistic模型： ; 0 ) ( , , 0 . 1 ? ￥ ? t N t r 则有 随着 若 ; ) ( , 0 . 2 0 K t N t N r ? ? ? 时,均有 当 的任意值， 对 若 . ) ( 0 . 3 0 N t N r = = 时， 若 据生物学家估计，r的自然值为0.029， 1961年人口总数为 时，人口的增长速率为2%。由此可得地球上的人口总数的极限值为 ●美国人口的增长，就符合Logistic模型。皮尔(Pearl)和里德(Reed)提出的美国人口增长的数学模型为 检验 表1 1790-1950年美国人口总数 ● 1845年弗胡斯特曾预言比利时人口的最大值为660万人，法国人口的最大值为4000万人。但在1930年比利时人口已经达到809万人，二者相差很大。经过分析，因为在当时比利时的工业飞速发展，使得比利时有足够的财富供养更多的人口。因此，在比利时工业飞速发展以后，对比利时的Logistic人口模型中的K应作适当调整。 检验 表1 1790-1950年美国人口总数 年 实际数值 预测值 误差 % 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920