西南交大高数自测题答案第五章.doc

第五章 选择题 1设，，则当时是的(B) (A)等价无穷小 (B)同解无穷小非等价无穷小 (C)高阶等价无穷小 (D)低阶等价无穷小 （） 2设，，则(D) (A) (B) (C) (D) 解：奇函数在对称区间积分为0得： 3设有连续导数，，，，且当 时，与是同阶无穷小，则等于(C) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 若，若 当 4：设，则(A) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 是以为周期的函数，故 又 （当时） 5设在区间上，，，，令 ，，则(B) (A) (B) (C) (D) S S2 S3 S1 a b f(x) (x)x) 法二：由积分中值定理有，（1） 又且得（2） (1)（2）得 ，故函数是凹的 6设连续，则等于(A) (A) (B) (C) (D) （令） 7设连续，则下列函数中必为偶函数的是 (A) (B) (C) (D) (A) 令 ，则 (B) 令 ，则 (C) 令 ，则 (D) 令 ，则 8：把时的无穷小量，，排列起来，使得在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的次序是(B) (A) (B) (C) (D) ，故 ，故 ，故 二 计算题 1设连续， ，且（A为常数），求 并讨论在处的连续性。 解 当时 由且，故 当时， 故 故在处的连续。 2：设是区间上的任一非负函数。 证明，使得在区间上，以为高的矩阵面积等于在区间上以为曲边梯形面积。 又设在区间可导，且，证明（1）中的是唯一的。 证明：令，显然在区间上连续在可导，且 ， 又 故由罗尔定理得存在使得 其中 即 由是区间上的任一非负函数可知道表示存在，使得在区间上，以为高的矩阵面积等于在区间上以为曲边梯形面积。 （2） ，故在区间是单调递减，故中是唯一的。 3：求 4设函数在上连续，且， 证明在内至少存在两个不同的点 证明：令，则在上连续在可导。 即，由积分中值定理存在使得， 故，对在及罗尔定理有 ，使得 ， 即在在内至少存在两个不同的点。 5：求 6已知两曲线与在点处的切线相同，写出切线方程并求极限 解 故在点处的切线方程为 由数列极限与函数极限的关系有 7求 8设求的表达式。 当时 当 9设函数由参数方程所确定，求 解： 故 10 如图曲线的方程为，点是它的一个拐点，直线分别是曲线在点与处的切线，其交点为，设函数具有三阶连续导数，计算定积分 函数具有三阶连续且点是它的一个拐点，故 故 11．设为正值连续函数，求。 解 令， 原式 12．设，求。 解 13．设函数在上连续，且满足，证明，使。 证明 令，故 ，，即 ，使得，即