几何概型例题分析及习题(含答案).docVIP

几何概型例题分析及练习题 (含答案) [例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。 解：设x为甲到达时间，为乙到达时间.建立坐标系，如图时可相见，即阴影部分 [例2] 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径倍的概率。 解：. ∴ [例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率。 解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 ，即图中黄色区域，此区域面积为。 事件“三段的长度都不超过”所对应的几何区域可表示为 ， 即图中最中间三角形区域，此区域面积为 此时事件“三段的长度都不超过”的概率为 [例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。 解：设为张三、李四与基地的距离，，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对，表示区域总面积为1200，可以交谈即 故 [例5] 在区间上任取两数，运用随机模拟方法求二次方程两根均为正数的概率。 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数 （2）变换 ， （3）从中数出满足条件 且且的数m （4）（n为总组数） [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求是锐角三角形的概率。 解法1：记的三内角分别为，，事件A表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 。 因为是锐角三角形的条件是 且 所以事件A构成集合 由图2可知，所求概率为 。 解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A、B、、为单位圆与坐标轴的交点，当为锐角三角形，记为事件A。则当C点在劣弧上运动时，即为锐角三角形，即事件A发生，所以 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。 [例7]将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率． 解：设“3段构成三角形”．分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为．． 由题意，要构成三角形，须有，即； ，即；，即． 故． 如图1所示，可知所求概率为． [例8]在区间上任取三个实数，事件． （1）构造出此随机事件对应的几何图形； （2）利用该图形求事件的概率． 解：（1）如图2所示，构造单位正方体为事件空间，正方体以为球心，以1为半径在第一卦限的球即为事件． （2） P例9图 P 例9图 D C B A [例9] 例5、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AC＝7.现在向该矩形内随机投一点P，求时的概率。 解：由于是向该矩形内随机投一点P，点P落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD是区域.要使得，须满足点P落在以线段AB为直径的半圆内，以线段AB为直径的半圆可看作区域A.记“点P落在以线段AB为直径的半圆内”为事件A，于是求时的概率，转化为求以线段AB为直径的半圆的面积与矩形ABCD的面积的比，依题意得，，矩形ABCD的面积为，故所求的概率为 点评：挖掘出点P必须落在以线段AB为直径的半圆内是解答本题的关键。 [课后习题] 1．一枚硬币连掷3次，至少出现两次正面的概率是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 2．在正方形内任取一点，则使的概率是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 3．已知地铁列车每10min到站一次，且在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 4．在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 6．在线段上任取一点，则此点坐标小于1的概率是　　　　　． 答案： 7．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是　　　　　． 答案： 8．从1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈