几何知识在高中物理中的运用——圆的妙用.docVIP

几何知识在高中物理中的运用——圆的妙用 方程与函数知识在高中物理中有非常广泛的应用，与之相比，几何知识的应用范围就狭窄得多，但有些物理问题能够巧妙运用几何知识便捷地解决。在高中物理课程中与几何知识结合最紧密的应该是图像问题，关于物理图像与数学图像的联系与区别，以后我们会专门讨论，接下来以“圆”为角度总结下高中物理相关知识。 高中物理知识中需用到的“圆”按其作用与功能可分为“矢量圆”“等时圆”“等势圆”“等圆系”“谐振圆”等。本文试通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。 一、矢量圆 矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆?”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。在力度分解与运动的合成与分解处常会用到。? 例1一条宽为L的河流，水流速度为,船在静水中划行的速度为,且。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？ 解析：水流速度、船在静水中的速度与船的合速度构成 一矢量三角形，且船在静水中的速度大小不变，方向不定， 构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD与矢量圆相切时， 船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角 二、等时圆 等时圆模型 如图所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光 滑弦下滑至轨道与圆弧的交点，或圆弧上任意一点沿 各光滑弦下滑至最低点，其下滑的时间相等.这样的圆 环称之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时， 恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。 例２两光滑斜面的高度都为h，OC、OD两斜面的总长度都为，只是OD斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面低端？ 解析： （解法1）本题往往采用图像求解，作出物体分别沿OC、OD斜面运动的图像（如图所示4），由图像可得乙球先到达斜面低端。 （解法2）构建如图5所示的等时圆，交OC于A点，交OD于B点。由“等时圆”可知，. 由机械能守恒定律可知：，所以。由因为两斜面的总长度相等，所以， 根据公式得，，所以有，即乙球先到达斜面低端。 例3 如图6，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L.求小环从A滑到B的时间。 解析：可以以O为圆心，以L为半径画一个圆。根据“等时圆” 的规律可知，从A滑到B的时间等于A点沿直径到底端D的时间， 所以有： 例4 如图7所示，在倾角为的传送带的正上方，有一发货口A。为了使货物从静止开始，由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角应为多少？ 解析：如图8所示，首先以发货口A点为最高点作一个圆O与传送带相切，切点为B，然后过圆心O画一条竖直线AB′，而连接A、B的直线，就是既过发货口A，又过切点B的惟一的弦。 根据“等时圆”的规律，货物沿AB弦到达传送带的时间最短。因此，斜槽沿AB方向安装。AB所对的圆周角为圆心角的一半，而圆心角又等于，所以。 例5如图9所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC长为2L，处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q，一个质量为m，电量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为v。则：该质点运动到非常挨近斜边低端C点时速度为多少？沿斜面向下的加速度为多少？ 解析：点电荷沿斜面AC下滑时，电场力在不断变化， 无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解， 从而使解题陷入困境。由几何关系可引入图10所示的 等势圆，由于D、C二点位于同一等势圆上，电荷从 D运动到C电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷 在D点的机械能与C点的机械能相等，即： 对电荷在C点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得： 解得： 三、等圆系 带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“等圆系”，构建等圆系能化俗为奇。 例6 半径为R=10cm的圆形匀强磁场，区域边界与y轴相切于坐标原点，磁感应强度B=0.332T，方向垂直纸面向里。在原点O处有一放射源S，可沿纸面向各个方向射出速率均为的粒子，已知粒子的质量为，电量，试确定粒子通过磁场的最大偏向角。 解析：粒子在磁场中作半径为r的匀速圆周运动，可得： 从而可构建一系列半径为20cm并交于O点的等圆系（如图11所示）， 有等圆系不难得到要使粒子的偏向角最大，必然粒子在磁场区域 内的弦最长。所以粒子的最大偏向角 例7 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高度运动的粒子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图12所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场外边缘而被约束在该区域内。设环状磁