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维普资讯 2006年第 l1期 数 学 通 讯 15 几类特殊四面体的外接球问题 吴平生 (广州市第十六中学，广东 510080) 中图分类号：o124．2 文献标识码：A 文章编号：0488—7395(2006)l1—0015—03 我们知道，每个四面体都有外接球，球心就是 CD-AlBlClDl有相 同的外接球．设外接球半径 各条棱的中垂面的交点，这个点到各个顶点的距 为R，则 2R= ，从而 R= ．所以此球的表面 离都相等．给出一个四面体求它的外接球半径，是 一 类常见的问题．下面以近几年的高考题为例来 积为S球=47rR：47r(4~)=37r，故选(A)． 说明几类特殊四面体的外接球半径的求法． 1 等腰四面体的外接球 评注 本题若直接运用正四面体的外接球半 三对对棱分别相等的四面体叫做等腰 四面 径公式 R= a × = ，从而 s球=4 体，从长方体的一个顶点出发的三条面对角线，以 及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个 =37r，也能迅速得出答案 (A)． 等腰 四面体 ． 2 直角四面体的外接球 设等腰 四面体的三条棱长分别是 a，b，c，通 同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫做 过构造长方体，可以求得它的外接球半径为R= 直角四面体．从长方体的一个顶点出发的三条棱， — — 以及另三个端点的连线可 以构成一个直角的四面 ‘ 叶 口+b+c．特别地，当 口=b=c时，棱长为 体． 设直角四面体的三条直角边长分别是 a，b， 口的正四面体的外接球半径为R=‘口． - | c，通过构造长方体，可 以求得它的外接球半径为 例 l (2003年新课程高考题)一个四面体 R = 口 +b2+6．2 ． 的所有棱长都为 ．四个顶点在同一球面上，则此 例 2 (2005年辽宁高 球的表面积为 ( ) 考题改编)如图2，已知三 (A)37r． (B)47r． 棱锥 P-ABC中，E，F分别 (C)3√37r． (D)67r． 是 AC，AB 的 中 点， 分析 由于四面体的 D