几类特殊函数的积分法.ppt

3.3 几类特殊函数的积分法（52） 3.3.1 有理函数的积分法 3.3.2 三角有理式的积分法 3.3.3 简单无理函数的积分法 3.3.5 小结与思考题1-3 *3.3.4 积分表的使用 例14 求不定积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例15 求不定积分 解 先对分母进行有理化 原式 简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分（万能置换公式）. （注意：万能公式并不万能） 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？ 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式. 课堂练习题 课堂练习题答案 * 1、有理函数 由两个多项式的商表示的函数. 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和. （1）分母中若有因式 ，则分解后为 2、化有理函数为最简分式之和 特殊地： 分解后为 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 3、化真分式化为最简分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例2 例3 整理得 例4 求不定积分 解 例5 求不定积分 解 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 1、三角有理式 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 2、万能置换公式 例6 求不定积分 解 由万能置换公式 例7 求不定积分 解（一） 解（二） 修改万能置换公式, 令 解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 可知万能置换不一定是最佳方法. 故在三角有理式的积分中，应优先考虑其它手段. 例8 求不定积分 解 3、特殊变换 例9 求不定积分 解 例10 求不定积分 解 例11 求不定积分 解 例12 求不定积分 解 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例13 求不定积分 解 令