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2010年温州中学自主招生数学试题2010.4
一试
一、选择题:本大题共8题,每小题4分,共32分.在每小题给出的的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
2.用黑白两种颜色的正六边形地面砖拼成若干个图案,规律如下图所示,则第2010个图案中,白色地面砖的块数是
A.8042 B.8038 C.4024 D.6033
3.关于的整系数一元二次方程中,若是偶数,是奇数,则( )
A.方程没有整数根 B.方程有两个相等的整数根
C.方程有两个不相等的整数根 D.不能判定方程整数根的情况
7
9
6
4.如图所示,一个的方格中,每一行,每一列,及每一对角线上的三个数之和都相等,则的值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.若,且,其中正整数满足,,则在坐标平面上表示不同的点的个数为( )
A.60 B.90 C.110 D.120
6.气象台预报:“本市明天降水概率是80%”,但据经验,气象台预报的准确率仅为80%,则在此经验下,本市明天降水的概率为( )
A.84% B.80% C.68% D.64%
7.设,其中为正整数,则下列结论正确的是( )
A.有且仅有一个,使得为完全平方数
B.存在多于一个的有限个,使得为完全平方数
C.存在无数个,使得为完全平方数
D.不存在,使得为完全平方数
8.已知点、分别在轴正半轴、轴正半轴上移动,,则以为直径的圆周所扫过的区域面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.若关于的方程无解,则
10.在Rt△ABC中,C为直角顶点,过点C作AB的垂线,垂足为D,若AC、BC为方程的两根,则AD·BD的值等于
11.我们规定表示不超过的最大整数,如:,,。已知函数,若,则的所有可能取值为 .
12.已知某几何体中的一条边长为,在该几何体的正视图和侧视图中,这条边的投影分别是长为和的线段,则在该几何体的俯视图中,这条边的投影长为
13.如图,已知锐角△ABC的外接圆半径等于2,∠BAC=,O、H分别为△ABC的外心和垂心,连接OH与BC的延长线交于点P,则OH·OP=
14.正整数,具有如下性质:从中任取一个数,能整除的概率为,则的最大值为
2010年温州中学自主招生数学试题2010.4
答题卷
一试
一、选择题:本大题共8题,每小题4分,共32分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9. ; 10. ; 11. ;
12. ; 13. ; 14. ;
三、解答题:本大题共3小题,共28分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题8分)解关于的方程
16.(本小题10分)如图,已知点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(4,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的正半轴于点C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连结BD,求直线BD的解析式;
(3)若M为直线AC上的一动点,求△MBD周长的最小值.
17.(本小题10分)如图,在△ABC中,ABAC,L、M、N分别为边BC、AC、AB的中点,D、E分别为边BC、AB上的点且满足AB+BD=AC+CD,CA+AE=CB+BE,D关于L的对称点为P,E关于N的对称点为Q,LM交PQ于点F,求证:AF平分∠BAC
二试
一、(本题15分)圆周上有2010个数,将每个数染成红色或蓝色。若每个红色数等于相邻两数的和,每个蓝色数等于相邻两数和的一半。试问,所有红色数之和是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由.
二、(本题15分)如图,已知C是线段AB的中点,过点A、C的圆O1与过点B、C的圆O2交于C、D两点,P是圆C1上的弧AD的中点,Q是圆C2上的弧BD的中点.
求证:PQ⊥C
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