一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用.docVIP

. . 一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用 周红卫 (宁波万里国际学校 315040) 带电粒子在磁场(或复合场)中的运动是高考的常考题型，在各省市的高考中都处于主角的位置。在诸多的带电粒子在磁场中的运动问题中，有一类平行运动的等速粒子的平面磁聚焦问题很受青睐，在竞赛中也得到了体现。现对此进行一个举例分析。 YX0V图1A5A4A3A2A1模型的建立：如图1几何图形，若干个等半径的圆可以交于一点 Y X 0 V 图1 A5 A4 A3 A2 A1 一 突出对粒子运动径迹的考察 例1 (09年海南卷)如图2，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： 图3（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； 图3 （2）此匀强磁场区域的最小面积。 A A BA CBA DCBA 图2 解析 （1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力大小为，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为，按照牛顿定律有 联立两式得 （2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。 为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如图3所示。图中，圆弧AP的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由知，圆弧AP的半径仍为，在以A为原点、AB为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为 消去参数θ得 这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为 点评 这是一个典型的利用磁场进行平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径迹。从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考查了学生对于带电粒子在磁场中运动的综合分析能力，这类题目也是几乎所有高考题目的选择对象。但对于平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题有过深入分析和研究，对带电粒子的运动做过分类研究的学生而言，他们就属于“有备而来”，遇到类似题目会有“游刃有余，一切尽在掌控中”的自信和豪情。 二 突出对粒子运动“汇聚点”的考察 例2 （09年浙江卷）如图4所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0y2R的区间内。已知重力加速度大小为g。 yx y x 图4 （2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。 （3）略. 解析 本题考查带电粒子在复合场中的运动。 PxyoRQPoyxO′图6xCyxvCyxovCyxy图5带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。设电场强度大小为E，由 P x y o R QPoyx O′ 图6 x Cyx vCyx ovCyx y 图5 得，方向垂直于纸面向外。 （2）这束带电微粒都通过坐标原点。 方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图6所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点。 方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图b示，过P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ）,圆周运动轨迹方程为 得x=0，y=0；或x=-Rsinθ，y=R(1+cosθ) 点评 对于（2）的回答，很多学生当时觉得不好处理，最后经过一番思考和推理才形成了以上结果。需知道考场上的时间是多么珍贵，长期对一个也许并不明白的的问题进行思考时，所带来的情绪影响更大。其实这里是不需要说明理由的，那么如果我们已经知道了空间一束平行带电粒子经过和自己轨道半径等大的圆形磁场区域后会聚焦在一个点，那么由（1）就马上可以知道，这些带电粒子最后全部会聚于原点，下来的解答只是按照几何原理进行结果的描述的一个数学“技术”工作了。