矩阵的等价,相似合同的关系及应用.docVIP

. . 目 录 TOC \o 1-3 \h \z \u 摘 要 I 1 引言 1 2矩阵间的三种关系 1 2.1 矩阵的等价关系 1 2.2 矩阵的合同关系 2 2.3. 矩阵的相似关系 2 3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 3 3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别4 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别5 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别5 4矩阵的等价、合同和相似的应用 6 4.1矩阵等价的应用7 4.2矩阵相似的应用9 4.3矩阵合同的应用9 4.4三种关系在概率统计中的应用10 5结论12 结束语12 参考文献13 摘 要: 本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。 关键字： 矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用 1.引言 高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？ 2.矩阵的三种关系 2.1矩阵的等价关系 定义2.1.1 : 两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵，使得 矩阵与等价必须具备的两个条件： （1）矩阵与必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使. 2.1.2矩阵等价的性质： （1）反身性：即. （2）对称性：若，则. （3）传递性：若，，则. (4)A等价于B的充要条件是秩（A）=秩（B） (5)设A为m×n矩阵，秩（A）=r，则A等价于，即存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q，使. (6)(Schur定理) 任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于其中为矩阵A的特征值. 定理2.2.1： 若为矩阵，并且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（ 阶），使，其中为阶单位矩阵. 推论2.2.1：设是两矩阵，则当且仅当. 2.2 矩阵的合同关系 定义2.2.1 ：设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵. (2) 存在数域上的阶矩阵, 2.2.2矩阵合同的性质： （1）反身性：任意矩阵都与自身合同. （2）对称性：如果与合同，那么也与合同. （3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同. (4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. (5) 在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. (6) 矩阵合同与数域有关. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等. 定理2.2.1 ：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. 定理2.2.1 ：复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 2.3. 矩阵的相似关系 定义2.3.1 设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使,则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）. 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件 (1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域上阶可逆矩阵，使得 2.3.2相似矩阵的性质 (1)反身性 : ; (2)对称性 :由即得; （3）传递性: 和即得 (4) （其中是任意常数）； (5）； (6）若与相似，则与相似（为正整数）； (7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么. 即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式； 即：如果，则有： (9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似； 设，若可逆，则从而可逆.且与相似. 若不可逆，则不可逆，即也不可逆. 下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理 定理2.3.1 相似矩阵的特征值相同. 推论2.3.1 相似矩阵有相同的迹 3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 3.1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别 定理3.1.1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵． 证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价 但对于矩阵,等价，与并不相似，即等价矩阵未