一维无限深势阱.pptVIP

2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 也不满足束缚态条件 2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 总之，基态波函数无节点，激发态（能量较高的束缚态）节点数依次增加。而且 能量越高，振荡越激烈。 ﹟ * 不讲 Quantum Mechanics 左 国 平 南华大学 核科学技术学院 2008.5 Quantum Mechanics §2.6 一维无限深势阱 2008.5 Quantum Mechanics a 金属 U(x) U=U0 U=U0 E U=0 x 极 限 U=0 E U→∞ U→∞ U(x) x 0 a Ⅰ Ⅱ Ⅲ 无限深方势阱 （potential well） 是实际情况的极端化和简化。 粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。 §2.6 一维无限深势阱 2008.5 Quantum Mechanics ①势函数 粒子在阱内自由运动 不能到阱外 一、薛定谔方程和波函数 ? ? 0 2008.5 Quantum Mechanics ②哈密顿量 ③定态薛定谔方程 阱内： ? ? 0 阱外： 2008.5 Quantum Mechanics 根据波函数有限的条件 阱外 1)阱外 ④分区求通解 2008.5 Quantum Mechanics 令 2)阱内 (为了方便将波函数脚标去掉) 将方程写成 通解 式中 A 和 B 是待定常数 2008.5 Quantum Mechanics ⑤由波函数标准条件和边界条件定特解 在 x=0处，波函数要连续，即 在x=a 处，波函数要连续，即 通解是 2008.5 Quantum Mechanics A 已经为零了，B 不能再为零了。即 只能 sin(ka)等于零 要求 故能量可能值 但 由上式 2008.5 Quantum Mechanics 由波函数的归一性质定常数 B 得 本征函数 这组函数构成本征函数系。 2008.5 Quantum Mechanics ⑥定态波函数 ⑦概率密度 2008.5 Quantum Mechanics 每个可能的值叫能量本征值 讨论 束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念) 能量量子化 基态： 最低能量不为零--波粒二象性的必然结果，因为静止的波是不存在的。 2008.5 Quantum Mechanics 能级间距： L--阱宽 通常表达式写为 当n 很大时,能量趋于连续, 量子效应不明显。 2008.5 Quantum Mechanics 本征能量和本征函数的可能取值 小结： 2008.5 Quantum Mechanics 一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 o a a o 2008.5 Quantum Mechanics 时， ? 量子?经典 符合玻尔对应原理 | 2 Ψn | a n 很大 En 0 平均效应明显 2008.5 Quantum Mechanics 2、有限深方形势阱 势的特点：空间反射对称 0 x a/2 -a/2 V0 V0 V(x) E 2008.5 Quantum Mechanics 写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区) 令 方程(1)变为 其解为 都是方程的解？ 2008.5 Quantum Mechanics 现在是有限深的情况！ 2008.5 Quantum Mechanics 在阱内(经典允许区) 令 则方程变为 其解可以写为 2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 令 则(5)式化为 由 有 再利用(6)式,有 2008.5 Quantum Mechanics 试考虑：如何由 求 2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 2008.5 Quantum Mechanics 3、束缚态与分立谱的讨论 由以上分析可知，束缚态能量是分立的。 相应动量也是分立的。 我们也可从波函数变化规律来解释这一现象. 由定态方程 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。 2008.5 Quantum Mechanics 解为 2008.5 Quantum Mechanics 解为 2008.5 Quantum Mechanics 据此可定性讨论能量可能取值及波函数的节点数。 0 x