博弈论 3. Nash均衡存在性.pdf

学 术 型 硕 士 研 究 生 课 程 博 弈 论 杜 少 甫 知识准备 Knowledge Preparation 反应函数(response/reaction function)： 即最佳反应映射(The best response mapping)，在某个博弈中，用于反映一个 局中人对其他局中人策略所作出的反应关系的函数。 通常在连续情况下，可通过一阶条件得到。 紧致集(Compact Set)： n维欧氏空间(Euclidean Space) Rn 的某子集被称为紧致的，当且仅当此子集有 界(bounded)且封闭(closed)。 即：有界闭集  实数集R(一维欧氏空间) 中，任一闭区间如[0, 1]是紧致集；而任一开区间如(0, 1)、[0, 1)不是紧致集（not closed ）；整数集Z不是紧致集（not bounded ）  平面集R (二维欧氏空间) 中的圆(含圆周) ，立体集R (三维欧氏空间) 中的球(含球面) 。 2 3  注：作为特例，Ø被视为紧致集。 中国科学技术大学管理学院@ 2013 2 知识准备 Knowledge Preparation 数学中与凸性(convexity)相关的几个概念 凸集(convex set)： 集合S被称为凸集，当且仅当(iif) 对于∀a, b ∈S和∀λ ∈[0, 1]，均有λa+(1-λ)b ∈S。 S b a 即：S 内任两点的直线段仍在S 内凸集是连通的。 □一维实空间内的区间； □二维欧氏空间中每个角都小于180°的多边形等。 两凸集的交集必为凸集，而并集未必。 中国科学技术大学管理学院@ 2013 3 知识准备 Knowledge Preparation 数学中与凸性(convexity)相关的几个概念(续) 凸函数(convex function)：实值函数f (.)是凸的iif 函数f (.)的定义域C为 凸集且∀a, b ∈C和∀λ ∈(0, 1)，均有 f (λa +(1 −λ)b ) ≤λf (a ) +(1 −λ)f (b ) f (b) 1. 函数曲线的上境图( 曲线 λ + −λ f (a ) (1 )f (b ) 以上部分)是个凸集。 f (λa +(1 −λ)b ) 2. 改为则为严格凸，改成≥ f (a) 即为凹函数。 a λa +(1 −λ)b b 中国科学技术大学管理学院@ 2013 4 知识准备 Knowledge Preparation 数学中与凸性(convex