确定杆单元的形函数.ppt

第三讲杆件结构有限元分析 元计算技术部 本讲通过对一维杆件进行理论分析和ELAB1.0有限元实现两种方式来介绍有限元的思想，并给出用有限元方法求解实际问题的流程： 一维杆件有限元理论分析 一维杆件ELAB软件实现 基本方程 基本方程的最终弱形式 建立有限元模型 确定杆单元的形函数 确定单元刚度，总体刚度 带入边界求解方程 工程建模 前处理 求解计算及后处理 杆件从构造上说是长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学中常常将承受轴力或扭矩的杆件统称为杆。根据桁架或者杆件承受的载荷不同，根据它们的变形不同可以将杆单元分为二维和三维桁架单元两种。承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下： 其弱形式为： 基本方程 一维杆件有限元理论分析 根据虚功原理，方程两边乘以虚位移δu，平衡方程可以写为： 其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时 所以上式可以继续写为： 其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。 基本方程的最终弱形式 建立有限元模型 现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如图1所示，右端给定位移u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布： 几何模型 将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示： 单元拓扑关系 确定杆单元的形函数 考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:： 设该单元的位移场为u(x)，这里要通过一个线性分布函数来进行插值以得到单元内的未知位移。 定义一个局部坐标系ζ： 由该式可得，在节点x1 处，ζ=-1，在节点x2处，ζ=1，如下图所示局部坐标系： 基于上坐标系来定义用于位移插值的形状函数： 确定了形状函数后，单元内的线性位移场就可以用节点位移u1，u2来表示： 通常来说形函数需满足以下条件： 在单元内，一阶导数必须存在； 在单元之间的连接处，位移必须连续； 推导该问题的单元刚度矩阵表达式 对于基本方程的最终弱形式： 在一个单元内： 因此： 由局部坐标系ζ，与整体坐标系的关系式及位移的插值函数可得： 由上面的关系式可得到： 对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得： 确定该问题每个单元的刚度矩阵 将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也进行组装。 刚度矩阵： 节点位移： 对于本问题没有节点力即： 整体刚度方程为： 确定该问题总体刚度矩阵 边界处理及整体刚度方程求解 边界条件u1=0，u2=0.1，带入方程中去掉第一条和第六条方程得到： 求解上方程得到： 则所有的节点位移为： 一维杆件ELAB1.0软件实现 工程建模 1、点击“工程向导”进入公式库 2、选择“结构力学”→“桁架”→“二维直角坐标” 3、选择“坐标系” 5、选择“问题类型” 4、选择“单元类型” 6、定义工程名和工程路径，完成工程设置 定义材料参数 点击工具栏“参数设置”→“材料参数”，如下图所示： 材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示： 前处理 进入GID后要进行FELAC的数据转化data→problemtype→FELAC，如下图所示。 几何建模： 点击工具栏中“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。 确定问题类型 点击左侧菜单中 ，在GID下方command命令行中输入（5,0）回车，再输入（4,0）回车， 再输入（3,0）回车，再输入（2,0）回车, 再输入（1,0）回车, 再输入（0,0）回车,单击鼠标中键结束，此时杆件创建完毕如下图所示。 赋予材料属性： 选择data→conditions，弹出图示对话框。选择 ，在下拉菜单中选择Line → trull2，在 Mate num中输入数值1，点击assign，选择左边第一条线，按鼠标中键结束。依次在Mate num中输入2、3、4、5，分别为另外四条线赋材料，如下图所示。 几何模型建立步骤： 一维杆件模型 材料属性 在conditions对话框中选择 ， 在下拉菜单中选择point → lea，在对应的输入框中输入：u-l:-1，u-D:0， 点击assign，选择模型左端点，点击鼠标中键结束，在输入框中输入：u-l:-1，u-D:0.1，选择模型左端点，点击鼠