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材料强度的统计计算 多尺度力学分析的典型算法 作者：张鹏 指导教师：苏先樾 强度统计计算与多尺度力学 算法介绍1 脆性材料的强度对裂纹分布非常敏感 算法介绍2 为揭示强度对微裂纹分布的敏感性，需要采用统计计算方法 问题描述1 无限大平板，包含N个共线裂纹，无穷远处作用有均匀拉应力σ∞ 问题描述2 a：半裂纹长 c：裂纹间距 a和c都是统计变量，它们的统计分布用函数f(a)、p(c)来表示，c-,c+,a-,a+是c和a的下届和上届。 问题描述3 目标 求出σ∞作用下的材料破坏概率 用直接数值模拟进行校验 用适当的分布函数拟和破坏概率曲线 简化问题 主要考虑相邻的两个微裂纹之间的强相互作用 裂尖应力强度因子 A点的SIF（stress intensify factor）： 其中F是无量纲函数 一个特例 （ a’=a’’=a0 ） N个长度相同的裂纹，间距不同（即a’=a’’=a0） 则f(a)是Dirac delta 函数δ(a-a0)当a’=a’’= a0时，c的分布函数p(c)是一个正态分布，c的取值范围为（c-,c+），平均间距记为c0 不同c0/ a0比率下的KA－ c/ a0图 当a’=a’’= a0时，KA是一个c/ a0单调递减函数 σ∞的临界值σth ∞ σth ∞ ：满足使裂纹扩展的σ∞最小值 KIC是基体断裂刚度 对应给定σ∞的临界裂纹间距ccr1 ccr1 ：σ∞作用下不至于连通的最小裂纹间距 不同σ∞对应的不同情况 如果σ∞ σth ∞ ，应力小于使基体断裂的最小应力，裂纹不会扩展。 如果σ∞ ≥ σth ∞ ，则间距小于ccr1的相邻裂纹将连通。 裂纹长度与间距分布函数的变化 裂纹连通后，裂纹长度和间距的分布函数p(c)和f(a)将改变 扩展后的微裂纹长度及间距的期望值 计算流程图 重复n次后 裂纹长度 第k次扩展后的裂纹间距期望值 第k次扩展的临界裂纹长度 总循环次数M 破坏概率 根据WLT以及有关的统计学知识，我们可以得到材料的破坏概率Pfail为 直接数值模拟 Kmax达到KIC时，我们就把相邻的这两个裂纹连接，然后分析得到新的裂纹状态下的远处的应力状态。这一过程可以逐步循环实现。 用Weibull分布拟和破坏概率曲线 Weibull提出用如下带三个参数（m, σu,σ0）的分布函数描述脆性材料的强度 用Weibull分布拟和破坏概率曲线 用Weibull分布拟和破坏概率曲线 如果前面分析的累积破坏概率函数可以用Weibull分布近似，那么它应该在lnln-ln的Weibull图中呈直线。 我们可以把数据在Weibull图中标示出测定Weibull模量m，也可以估计m,σu,σ0这三个参数与s和N之间的关联。 Weibull图（s＝0.2） Weibull图（N＝300） THE END * 计算力学课程报告 作者：张鹏 * 计算力学课程报告 作者：张鹏 计算力学课程报告 作者：张鹏 材料强度 微裂纹平均密度 微裂纹平均长度 长度的涨落 密度的涨落 微裂纹串接过程取决于裂纹间的强相互作用 影响 原 因 材料破坏概率（与统计变量的关系） 裂纹扩展后的期望长度 拟和破坏曲线 …… 微裂纹平均密度 微裂纹平均长度 长度的涨落 密度的涨落 统计计算 Heaviside step函数 连通概率 没有连通的裂纹 连通的裂纹 a0+c0 ccr1 f1(a) + p1(c) + ccr2 KAKIC? σ∞+f(a)+p(c) KAKIC? Repeat 1 （M＝1） （M 1） 其中 统计预测与直接数值模拟的对比 W(σ)是应力为σ时的破坏概率（横轴为 ） σu表明累积破坏概率开始增长的位置 σ0标示了破坏概率曲线的过渡区的尺度 无量纲的参数m（称为Weibull模量）描述了脆性材料中的裂纹分布特性 即上式在一个lnln-ln的Weibull图中为一条斜率为m的直线 * 计算力学课程报告 作者：张鹏