第二章插值(5-6-7)教学.ppt

Hermite插值（ mi=2, i=0,1,…,n ） 为Hermite插值基函数,即 其中 Hermite插值余项： 埃尔米特插值 我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。 分段低次插值 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n) 上的n次插值多项式Ln (x) 的余项 即要讨论收敛性问题。 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项 可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这 说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这 样吗？ 分段低次插值 高次插值的病态性质 ？ 问题：高次插值过程的收敛性如何？ 例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子: 插值多项式情况，见图:取n=6和n=10 分段低次插值 如 L6(0.96)=0.4233 L10(0.96)=1.80438 f(0.96)=0.0416 从图中可见， P10(x)仅在区间[-0.2,0.2]内能较好地逼近f(x),而在其余位置, P10(x)与f(x)的值相差很大,越靠近端点,近似的效果越差. 高次多项式插值发生的这种现象称为龙格现象. 插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间Ln(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点. 原因：从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差。 分段低次插值 如果xk处的yk有初始舍入误差 ， 高阶差分中的误差传播如下表： 设有给定 的一组等距节点的函数值 误差在高阶差分中的传播表 分段低次插值 实际应用中常采用分段低次插值来提高插值精度。 （1）分段线性插值 （2）分段二次插值与分段三次插值 （3）分段Hermite插值 措施：实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 （4）分段三次样条插值 分段低次插值 缺点：整个区间上光滑性较差。 分段线性插值 且 已知 或函数表： 分段低次插值 满足 如果 上为线性多项式 在每一个小区间 （3）满足插值条件： 称 为数据 的分段线性插值函数。 当 时, 分段低次插值 几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数, 图象为线段。 在整个区间[a，b]上为折线。 (x3xtx4) 当 时, 分段低次插值 分段低次插值 分段线性插值的余项 注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精度 是很好的途径。 分段低次插值 分段低次插值 只在xj附近不为零，在其他地方均为零——局部非零性质 埃尔米特插值 拉格朗日插值和牛顿插值 满足： 但在插值节点上 与 一般不“相切”，即 （光滑性较差） （最简单的插值问题） 如果除了知道f(x)在插值节点上的取值外,还知道f(x)在插值 点xi上的 1≤mi≤n阶导数，如何来构造插值函数呢? Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不仅要求在节点上函数值相等，而且要求对应的导数值也相等，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。 Hermite插值就是既满足插值节点xi的函数值条件又满足 微商条件的插值函数。 埃尔米特插值 其中 互异， 为正整数，记 满足（5.1）的插值多项式 存在且唯一。 结论： 给定 函数表及各阶导数表如下： 寻求m次多项式P(x)使满足插值条件： Hermite插值问题共有m+1个条件 埃尔米特插值 讨论Hermite插值问题（mi=2, i=0,1,…,n） 问题: 函数表及导数表 已知 其中 互异, 埃尔米特插值 次多项式 使满足 插值条件: 寻求 存在唯一性 且已知 函数表及导数表， 如果 次多项式 满足插值条件(5.2). 则存在唯一次数不超过 证明： 先证唯一性。 为次数 的多项式且满足条件： 及 都是Hermite 插值问题（5.2）的解，则 设有 埃尔米特插值 这说明 都是 的二重零点，即 共有 个零点，故 ，即 为次数 的多项式且满足条件： 及 都是Hermite 插值问题（5.2）的解