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随机过程复习题
一、填空题:
1.对于随机变量序列 和常数,若对于任意,有
,则称依概率收敛于。
2.设是泊松过程,且对于任意, ,则
,
3.已知马尔可夫链的状态空间为,初始分布为,
,则,
4.强度的泊松过程的协方差函数
5.已知平稳过程的自相关函数为,
6. 对于平稳过程,若,以概率1成立,则称的自相关函数具有各态历经性。
7.已知平稳过程的谱密度为,则的均方值=
的均方值
8. 随机相位过程其中为常数,为上服从均匀分布的随机变量,则,
9.设马尔可夫链的状态空间,则一步转移概率矩阵为,初始分布为,则的分布律为
,
10.设是只有两个状态的齐次马氏链,其步转移概率矩阵为
,则
13.设,,则由切比雪夫不等式;
14.随机变量序列独立同分布,且0
,则对任意实数
二、计算与证明:
1.设任意相继两天中,雨天转晴天的概率为,晴天转雨天的概率为,任一天晴或雨是互为逆事件,以0表示晴天状态,以1表示雨天状态,表示第天的状态(0或1)。
写出马氏链的一步转移概率矩阵;
在5月1日为晴天的条件下,5月3日为晴天;5月5日为雨天的概率各是多少?;
解:,
(1)
(2) ,
,
2.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为,证明此链具有遍历性,并求其平稳分布。
解:
由于中不含有零元,故此链具有遍历性。
解方程组和,即
解得,故平稳分布为。
3.将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中,每个盒子中放3个,现从每个盒子中各取一球,交换后放回盒中,以表示经过次交换后甲盒子中的红球数,则是一齐次马尔可夫链,试求:(1)求初始分布;(2)求一步转移概率矩阵;(3)证明是遍历链。
解:(1)
, , , 故初始分布。
(2)
(3) ,
由于中不含有零元,故此链具有遍历性。
4.设,是常数,与为相互独立的随机变量,且,
(1)证明是平稳过程; (2)证明均值具有各态历经性;
求的平均功率。
解:(1)
与相互独立,
故是平稳过程
(2)
故均值具有各态历经性
(3)
5.随机过程,其中为独立同分布的随机变量,
它们的分布律为:
X
-1
2
Y
-1
2
P
2/3
1/3
P
2/3
1/3
证明为平稳过程;(2)证明的均值具有各态历经性.
解:(1)
与相互独立,
故是平稳过程
(2)
故均值具有各态历经性
6.设有随机过程,其中与独立且都是均值为零,方差为的正态随机变量,求(1)和的概率密度;(2)问是否是平稳过程?
解:(1)
(2)
故是平稳过程
7.设,为随机变量,具有瑞利分布,其密度函数为,是上服从均匀分布与相互独立的随机变量,问是否是平稳过程?
解:
其密度函数为
8.设是平稳过程,令,为常数,试证:
(1);
(2)。
解:
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