材料力学 本科 任德斌 05平面图形的几何性质.pptVIP

* 第五章 平面图形的几何性质 研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。 为什么要研究截面图形的几何性质 5.1 静矩和形心 o x y 一、静矩 dA x y 截面对 y , x 轴的静矩为： 静矩可正，可负，也可能等于零。 x y o dA x y x c 截面的形心 C 的坐标公式为： 若 则 y、z轴称为形心轴。 若已知 则可确定z轴、y轴通过截面形心。 二, 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该 截面对于同一轴的静矩。 其中： Ai —— 第 i个简单截面面积 —— 第 i个简单截面的形心坐标 组合截面静矩的计算公式为 5.2 惯性矩和惯性半径 o y z A dA y z ? A y2dA ? A z2dA 图形对y轴的惯性矩 图形对z轴的惯性矩 单位： （1）惯性矩恒?0； （2） 所以 ——惯性半径 （单位： ） 极惯性矩 o y z A dA y z 图形对o点的极惯性矩 单位： ? 讨论 （1） 惯性积 dA x y y x Ixy称为图形对x、y轴的惯性积。 如果 x 轴（或 y轴） 是对称轴， 则惯性积Ixy =0 y y y x x -x dA C xC yC yC xC 一、平行移轴公式： 5.4 平行移轴公式 已知： x a y b 求： 解： 注意: C点必须为形心 dA x y a b C xC yC yC xC 同理： [例] 计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩。 C x y 15 10 40 20 单位：cm 解： x1 1 2 C x y 15 10 40 20 单位：cm x1 1 2 a C x y 15 10 40 20 单位：cm x1 1 2 一、 惯性矩和惯性积的转轴公式 dA x y y x a x1 y1 x1 y1 5.5 转轴公式 主惯性轴 已知： 求： 解： α a x 同理： 主惯性轴和主惯性矩 x y a x1 y1 x1 令 求Ix1极值: a0 x0 y0 与 ?0 对应的旋转轴为x0 、y0 轴， x y a0 x0 y0 平面图形对x0 、y0轴惯性矩 为 平面图形对x0 、y0 轴的惯性积 为 x y a0 x0 y0 平面图形对x0 、y0轴的惯性积 为零， 称x0 、y0 轴为主轴，称 为主惯性矩。 使惯性积为零的坐标轴称为主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。 形心主惯性轴和形心主惯性矩 yC a0 xC0 yC0 xC C 求图形形心主惯性矩的方法： (1)建立坐标系 (2)计算面积和面积矩 (3)求形心位置 (4)建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC (5)求形心主轴方向 ?0 : (6)求形心主惯性矩 如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。 [例]确定图示图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 C x y 180 40 360 180 20 40 解：由反对称性可知形心在反对称点 180 -100 C x y 180 40 360 180 20 40 = *