初中函数图象规律与性质.docVIP

一次函数 y=kx+b 一、①当x=0时，y=b; ②当y=0时，x= 二、平移 ①向上n个单位长度 y=kx+（b+n） ②向下n个单位长度 y=kx+（b-n） ③向左n个单位长度 y=k(x+n)+b ④向右n个单位长度 y=k(x-n)+b 三、在一次函数y=kx+b上，（ ， ）（ ， ） ①k＞0， 当 ＜ 时，＜。 当 ＞ 时，＞。 ②k＜0， 当 ＜ 时，＞。 当 ＞ 时，＜。 四、（1）①k＞0，图像经过一、三象限； ②k＜0，图像经过二、四象限。 （2）①b＞0，图像经过一、二象限； ②b＜0，图像经过三、四象限。 反比例函数 1.反比例函数的图象特征与性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图象 一，三象限 二，四象限 性质 y随x增大而减小 y随x增大而增大 2.正比例函数与反比函数的交点特征 在正比例函数与反比例函数中， 与同号：则①与必有两个交点， ②且两点关于原点对称。 与不同号：则与没有交点。 3.反比例函数中的k的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P 作x轴、y轴的垂线PA、PB,所得 矩形PBOA的面积， 即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积均为。 [拓展延伸] ① ② ① ② ③ ④ （反比例函数，一次函数） ③ ④ 4.反比例函数与正比例函数的区别与联系 正比例函数 反比例函数 区别 定义 (k是常数， 且k≠0) (k是常数， 且k≠0) 自变量的取值范围 全体实数 不等于0的全体实数 图象 经过原点的直线 双曲线 增减性 当k＞0时，y随x增大而增大； 当k＜0时，y随x增大而减少。 当k＞0时，在每一象限内，y随x增大而减少； 当k＜0时，在每一象限内，y随x增大而增大。 联系 两函数的图象都关于原点对称； 两函数图象都经过点（1，k）； 当k＞0时，两函数图象都过（在）一、三象限，当k＜0时，两函数图像都过（在）二、四象限； 两函数中都只有一个待定系数，因此确定解析式时，都只需要一个独立条件。 二次函数 一、二次函数的一般形式 （a、b、c是常数，a≠0） 温馨提示 ①二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量的二次三项式。 ②当b＝0，c=0时，是特殊的二次函数。 ③判断二次函数：1.关系式是整式；2.化简整理关系式（去括号、合并同类项）后，能写成一般式。 二、二次函数的常见表达式 ⑴由于从（a≠0）中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把该式叫做二次函数的顶点式。 ⑵由于从（a≠0）中可直接看出抛物线与轴的两个交点的坐标，（，）, （，），所以通常把该式叫做二次函数的交点式。 温馨提示 ①一般式、交点式、顶点式是二次函数常见的表达式，它们可以互相转化。 ②顶点式、交点式化为一般式，主要运用去括号、合并同类项等方法。 ③一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、二次三项式的因式分解。 三、待定系数法法求二次函数解析式 ⑴ 设一般式：（a≠0） 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，解析式便可得出。 ⑵设顶点式：（a≠0） 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。 ⑶设交点式：（a≠0） 若已知二次函数图象与轴的两个交点的坐标为（，0）, （，0），设所求二次函数为，将第三点（m，n）的坐标（其中m，n为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式。 四、二次函数的顶点坐标及其意义 将二次函数的一般式配方得 提出a，不是除以a 提出a，不是除以a 加上一次项系数一半的平方，再减去，确保代数式的值不变。 加上一次项系数一半的平方，再减去，确保代数式的值不变。 由此得到顶点坐标为（），当a＞0时，顶点为最低点，此函数有最小值； 当a＜0时，顶点为最高点，此函数有最大值。 温馨提示 ①当h=0时，顶点坐标为（0，k），位于纵轴; 当k=0时，顶点坐标为（h，0），位于横轴; 当h=0，k=0时，顶点坐标为（0，0），位于原点处。 五、二次函数图象的平移 移动方向 平移前的解析式 平移后的解析式 简记 向左平移m个单位 左加 向右平移m个单位 右减 向上平移m个单位 上加 向