【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学人教B版必修二学案：2.4-空间直角坐标系.docVIP

中小学教育 学习永无止境 必威体育精装版最全精品教育资料 必威体育精装版最全精品教育资料 中小学教育 学习永无止境 2.4　空间直角坐标系 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点的距离公式. [知识链接] 在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，两点的距离为eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2). [预习导引] 1.空间直角坐标系及相关概念 为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合.这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点，每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面. 2.空间中点的坐标 过点P作一个平面平行于yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的x坐标. 过点P作一个平面平行于xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的y坐标. 过点P作一个平面平行于坐标xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标. 这样对空间的一点P，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量. 3.三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分都称为一个卦限，在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的. 4.空间两点的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离d(A，B)＝|AB|＝eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2). 特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点的距离d(O，P)＝|OP|＝eq \r(x2＋y2＋z2). 要点一　求空间中点的坐标 例1　建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标. 解　以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图. 由题意知，AO＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，从而可知各顶点的坐标分别为A(eq \r(3)，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(eq \r(3)，0,3)，B1(0,1,3)， C1(0，－1,3). 规律方法　(1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的投影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪演练1　画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)求棱C1C中点的坐标； (3)求面AA1B1B对角线交点的坐标. 解　建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1. (1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1). (2)棱CC1的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))). (3)面AA1B1B对角线交点为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))). 要点二　求空间中对称点的坐标 例2　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标. 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4). (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12). 规律方法　任意一点P(x，y，