计量经济学第三版课件于俊年 ISBN9787566310101 PPT2第二章 2.1三版.ppt

* 第二章 概率与统计基础知识 §2.1随机变量 随机变量（random Variable）是取值具有 随机性的变量。随机变量按其取值情况可分 为离散型和连续型两种。 一、概率分布 1.概率分布的概念 随机变量X取每个值xi的概率称为随机变量X 的概率分布。对离散型随机变量X，可以给 出概率分布表达式如下： （2.1.1） 由概率的性质知， ，并且 例如，抛一枚硬币只有“正面朝上”和“背面朝 上”两种结果，用X=1代表“正面朝上”，用X=0 代表“背面朝上”则概率分布可表示为 由抛硬币的例子知，p = 0.5 , q = 0.5, p + q = 1 ,满足概率的性质。 2.累积分布函数 对于随机变量X可以确定实值函数 F(x) = P( X ≤ x ) （2.1.2） 称为累积分布函数(cumulative distribution function ,CDF)。表示随机变量X小于或等 于x的概率。 3.连续型随机变量的分布函数和概率密度函数 对于连续型随机变量，取任何特定数值的概率 都是0，因此，只有度量该随机变量在某一特 定区域内的概率才有意义。 设F(x)是随机变量X的分布函数，对于任意 实数x，存在非负函数f (x)≥0,使得 (2.1.3) 则称f (x)为X的概率密度函数(PDF),并且具 有性质 二、 随机变量数字特征 我们有多种数值指标来描述随机变量分布 的特征，其中最重要的是数学期望（也称 均值）和方差。数学期望是随机变量的平 均值，它是随机变量集中趋势的度量。方 差是随机变量偏离平均值的离散程度的度量。 1. 数学期望 数学期望又称为总体的均值。假设我们研 究一个离散型随机变量X，设 x1，x2，…， xN为随机变量X的N个取值，则数学期望值 是所有可能结果的加权平均值，权重是各 可能结果的发生概率，即 (2.1.6) 式中pi为X发生xi的概率，并且 。 如果X是连续型随机变量，则数学期望为 (2.1.7) 在计量经济学中经常的处理方法，对于样本 的n个观测值中的每一个观测值发生的可能 性都认为是相同的，因此有，对于样本均值有 (2.1.8) 式中n为样本容量，xi为观测值，i =1,2,3,…,n 。 用来描述随机变量集中趋势的还有中位数。 中位数定义为一组n个观测值x1，x2，…， xn ，按数值大小排列，处于中央位置的观测 值称为中位数，用Md表示。 n为奇数 Md= n为偶数 (2.1.9) 2.方差 随机变量X的方差刻画了随机变量偏离均值 的程度，记作 。对离散型随机变量方差 为 (2.1.10) 其中μX为总体均值， 。 对于连续型随机变量其方差为 (2.1.11) 方差不可能为负值，如果随机变量X偏离均 值幅度很大，即比较分散，则方差就较大， 反之，则方差较小。 在计量经济学中，对于样本的n个(总体为N) 观测值中的每一个观测值发生的可能性都认 为是相同的，因此有（总体），此时便有总 体方差 (2.1.12) 而总体标准差定义为 (2.1.13) 式中N为总体容量，xi为观测值，μX为总体 均值。 样本方差定义为 (2.1.14) 样本标准差定义为 (2.1.15) 式中n为样本容量， xi为观测值， 为样本均值。 3.数学期望与方差的运算性质 （1） 对任意常数a ,b和随机变量x，有 E（X + b) = E(X) + b (2.1.16) E ( a X) = a E(X) (2.1.17) V (X + b) = V(X) (2.1.18) V( a X) = a2 V(X) (2.1.19) （2）对n个随机变量 X 1，X 2，…，X n , 若相应的均值存在，则 E(X 1 + X 2 +…+ X n) = E(X 1) + E(X 2) + …+E(X n) (2.1.20) （3）若随机变量X 1，X 2，… ，X n相互独立， 且均值都存在，则