计量经济学第三版课件于俊年 ISBN9787566310101 PPT11第十一章11.2三版.pptVIP

* §11.2 非线性概率模型 一、模型的选择 （一）逻辑模型 在线性概率模型中，对不满足条件 0≤ ≤1的 处理方法是： 当 ＜0时，取 =0 当 ＞1时，取 =1 相应的图形，如图11.2.1所示。 y 图11.2.1 改进后的线性概率模型中的样本回归直线 0 x 我们可用与图11.2.1相类似的非线性函数—逻辑函 数，来逼近图11.2.1中的函数曲线： (11.2.1) 其中 ，pi为采取某选择的概率，xi为 自变量。这个函数具有我们希望的良好性质，它的 图形是一条S型曲线。 当 时， 当 时, (11.2.2) 当 根据(11.2.1)和(11.2.2)可以画出逻辑函数的图形， 如图11.2.2所示 0 zi pi 图11.2.2 逻辑函数曲线 由(11.2.1)可得 (11.2.3) 对(11.2.3)式两边取对数： (11.2.4) 0.5 我们可以把 整体看作一个变量，于是便 有线性回归模型 (11.2.5) (11.2.5)式称为逻辑模型。 （二）常用的二元选择模型 在（一）段中，我们为了使因变量的取值满足概率 分布的要求，我们取逻辑函数 为分布函数，形成了逻辑模型。 分布函数的类型决定了二元选择模型的类型。根据 分布函数F的不同，二元选择模型可以有不同的类 型，常用的二元选择模型如表11.2.1所示。 11.2.1常用的二元选择模型 Probit模型 Logit模型 Extreme Value模型 标准正态分布 逻辑模型 极值分布 对应的二元选择模型 分布函数F 分布类型 二、逻辑模型的估计方法 (一) 因变量观测值可以分组的情形 我们仍然以分析居民家庭购买某些耐用商品的状况， 比如说购买汽车的状况为例。假设样本容量足够大， 以至使每一个自变量观测值都有5—6个以上的因变 量观察值与之对应。 在这种情况下，所有因变量观测值可以按不同自变 量观测值分成许多组，例如，共可分为G组。假设 第i组共有ni个家庭收入为xi，其中有ri个家庭已购买 汽车，其余尚未购买。于是收入为xi的家庭，购买 汽车的概率为 （11.2.6） 这里是概率真值pi的估计值，显然，每组内家庭个 数不能太少，家庭个数越多，概率估计值越接近真 值。因为(10.2.5)式可近似表示为： （11.2.7） 于是，(11.2.5)式可以表示为： （11.2.8） 对于模型(11.2.5)而言， 就是因变量，通过 上述方法我们实际上求出了这个因变量的所有观 察值，因此可用估计普通线性模型的方法求出β0 和β1的估计值。 但必须指出，这一方法能否正确得出参数估计值的 关键是每一个自变量xi所对应的因变量观察值不能 少于5或6个。如果样本容量不太大或自变量数目很 多，上述条件不能满足，则此法不适用。 此种方法，显然可以推广到多个自变量的情况。 (二)因变量观测值不能重复观测的情况 如果样本容量不够大，以至每个自变量观测值只对 应一个或很少几个因变量观测值，分组就不可能实 现了。这时可采用极大似然法估计模型（11.2.5)。 我们仍以消费者是否购买汽车为例进行讨论。 1.建立似然函数 对第i个消费者进行观测所得到的结果只有两种情况： 已经购买汽车，即 ，或者尚未购买汽车， 即 。 设yi = 1的概率为pi，则yi = 0的概率为(1- pi)，于是变 量y服从两点分布，其概率分布列为： （11.2.9） 所谓似然函数，就是样本中全部观测值的联合分 布（此时参数是未知的）： （11.2.10） 由(11.2.1)知，pi可以表示为 所以(11.2.10)可以表示为： （11.2.11） 2.极大似然估计 极大似然估计的基本思想是：我们观测到的样本应 该是出现概率最大的样本。本问题中，既然来自总 体的样本具有概率分布(11.2.11)，我们应该要求参数 β0和β1的取值使(11.2.11)达到极大值，满足上述极 值条件求出的β0和β1的估计量，称为极大似然估 计量。 对(11.2.11)式两边取对数： （11.2.12） (11.2.12)分别对参数β0和β1求导数，可得极值条件 的表达式： （11.2.13） 其中 (11.2.14) 由(11.2.14)有关系： 把(11.2.15)代入(11.2.13)得到化简了的正规方程： (11.2.16)