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二轮复习之三角函数式的化简与求值（基础篇） 适用学科 高中数学 适用年级 高三 适用区域 人教版 课时时长（分钟） 60 知识点 1、两角和与差的两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 2、二倍角公式 3、辅助角公式 教学目标 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2、能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3、能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 教学重点 运用公式进行简单的三角恒等变换，对三角式进行简单的三角函数化简、求值和证明 教学难点 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 积化和差、和差化积、半角公式 教学过程 一、高考解读 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 二、复习预习 默写下面几组公式： 1、两角和、差角的余弦公式 2、两角和、差角的正弦公式 3、二倍角的正、余弦公式 4、两角和的正切公式 5、两角差的正切公式 6、二倍角的正切公式 7、合一变换 8、常用公式变形 三、知识讲解 考点1 1 求值问题的基本类型 （1）给角求值， （2）给值求值， （3）给式求值， （4）求函数式的最值或值域， （5）化简求值 考点2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 四、例题精析 例题1 化简下列各式： （1）， （2）。 【规范解答】（1）因为， 又因， 所以，原式=。 （2）原式==。 【总结与思考】（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。 例题2 不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 【规范解答】解法一 sin220°+cos280°+sin20°cos80° = (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°) =1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220° =1－cos40°－(1－cos40°)= 解法二 设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则 x+y=1+1－sin60°=， x－y=－cos40°+cos160°+sin100° =－2sin100°sin60°+sin100°=0 ∴x=y=， 即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°= 【总结与思考】熟知三角公式并能灵活应用 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会 例题3 设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值 【规范解答】 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得 f(a)＝ ∵f(a)=, ∴1－4a=a=［2,+∞ 或　－－2a－1=，解得a=－1， 此时，y=2(cosx+)2+， 当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 【总结与思考】 二次函数在给定区间上的最值问题 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等 例题4 设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。 （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。 【规范解答】（I） 依题意得 ． （II）由（I）知，。 又当时，，故，从