计量经济学第三版课件于俊年 ISBN9787566310101 PPT10第十章10.2三版.pptVIP

* §10.2 非线性模型的标准线性化 一、非线性模型变量的间接代换 有一些非线性模型通过适当的变换就可以化为标准 线性模型，这种模型称为可线性化模型。 例如：柯布-道格拉斯(Coob-Douglas)生产函数模型 （C-D函数） (10.2.1) 就是这类模型的一个典型，其中Q代表产出，L代 表劳动力投入，K代表资本的投入，u是随机项， A、α、β是参数。 对(10.2.1)两边取对数 (10.2.2) 显然，（10.2.2）是一个双对数函数模型。 设 , , , 则(10.2.2) 可改写成 (10.2.3) 对于新的变量y, x1, x2来说，(10.2.3)是一个标准线 性化模型。这种先取对数后进行变量代换的方法 叫做间接代换法。 假设随机项 u 满足经典回归的基本假定，对(10.2.3) 应用OLS法，便可得出参数a, α, β的估计值， 再把它们代回原模型，便可得到样本回归方程： (10.2.4) 这里应注意 ， ，分别是α , β的无偏估计量， 不是的无偏估计量。 参数α表示产出对劳动投入的偏弹性。具体说，α表 示在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一 个百分点，产出将平均增加α个百分点 。β的解释类似。 例10.2.1 试将下列非线性模型线性化 (1) (2) (10.2.5) (10.2.6) 其中β0、β1为参数， u为随机项。 (1)模型(10.2.5)可通过变换 将模型(10.2.5)化为标准线性模型 (2) 模型(10.2.6)可通过变换 将模型(10.2.6)化为标准线性模型： 二、不可线性化模型的处理方法 许多实际问题中所建立的非线性模型无法通过变 量变换的方法化为线性。例如模型 我们介绍一种常用的一般方法，即借助于泰勒 (Taylor)级数展开式进行逐次的线性近似的估计 方法—高斯—牛顿(Gauss-Newton)迭代估计法。 （一）迭代估计法的基本思想 这种方法的基本思想是：通过泰勒(Taylor)展开先使 非线性方程在某一组初始参数估计值附近线性化， 然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新的参 数估计值。下一步是使非线性方程在新参数估计值 附近线性化，对新的线性方程再应用OLS法，又得 出一组新的参数估计值。不断重复上述过程，直至 参数估计值收敛时为止，其步骤如下： 设有模型 (10.2.7) k为自变量的个数，p为参数的个数，f为非线性函数。 将非线性函数 f 在参数β1，β2，…，βp的给定 初始值β10，β20，…，βp0点邻域展开为泰勒级数 (10.2.8) 取(10.2.8)式右端前二项，略去f展开式第三项及以 后所有各项，即高阶项，便有线性近似： (10.2.9) (10.2.9)式对参数 (i =1，2，…，p)已具有线性形式。 (2) 将(10.2.9)式左端看成一组新的因变量，将 (10.2.9)右端 (i= 1,2…，p)看成一组新的 自变量，这样(10.2.9)就已经成为标准线性模型， 对(10.2.9)应用OLS法，得出一组参数的估计值 ， ，…， 。 (3) 重复(1)，在新参数估计值 ， ，…， 点邻域再作一次泰勒展开，得到新的线性回归模型 (10.2.10) (4) 重复(2)，对(10.2.10)应用OLS法，又得出一组 参数的估计值 ， ，…， 。 (5) 如此反复，得出一组点序列 ， ，…， , (j =1，2，…)，使其收敛为止或满足下述条件： (i=1,2…，p) (10.2.11) δ是根据需要事先给的任意小正数。 这里应指出的是迭代过程可能不收敛，这时应重 选一组新的初始参数值，重新作逐次线性的近似 估计。如果改变初始参数估计值仍不能使迭代过 程收敛，那么就必须放弃逐次线性近似法而改用 其它方法。需要指出的是，上述迭代估计过程的 收敛性和收敛速度与参数初始值的选取有密切关系。 (二)迭代估计法的Eviews软件计算 利用Eviews软件，可以使用高斯—牛顿迭代法估计 非线性回归模型。我们用一个例子来说明它的使用 方法。 我们利用表10.2.1中的一组数据，估计某企业的C-D 函数模型 （10.2.16） 其中的A 、α、β为参数， y代表产出，L代表劳 动投入，K代表资本投入。 *