大连理工工程数学 课件 赵文茹第一篇 线性代数 第一章.ppt

新编工程数学（第四版）课件编著：赵文茹 王国廷辽宁工程技术大学职业技术学院 大连理工大学出版社出版 2009.12 第一篇 线性代数 第一章 行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式的性质与计算 1.3 克莱姆法则 * * 1.1.1 二阶行列式 在中学数学里知道二元线性方程组，它的一般形式为 (1-1-1) 用消元法消去 ，得到 同理消去 ，得到 当 时，方程组(1-1-1)的解为 　　　　　　　 　　 分母是由方程组中未知数的四个系数确定的，为了便于理解和记忆，引入二阶行列式的定义。 定义1　把符号 称为二阶行列式，由四个数排成两行两列（横排称行，竖排称列），它表示算式 ， 即 (1-1-2) 其中， 称为二阶行列式的元素，下标 是行列式的 的行指标 表示在第 行；下标 是行列式的列指标，表示在第 列。 表明这一元素处在第 行第 列位置。二阶行 列式共有 个元素。我们把 到 用实线连接，称该实线为主对角线 到 用虚线连接，称该虚线为副对角线。于是二阶行列式的 值便是主对角线上两个元素之积减去副对角线上两个元素之积所得 的差，其计算规律遵循如图1-1所示的对角线法则。 图1-1 (1-1-2)右端的式子又称为二阶行列式的展开式。当所有的 都是数时，行列式的值是一个具提的数值，若其中有字母出现，则行列式的值是一个代数式。通常用字母Ｄ表示行列式。 利用二阶行列式的概念，方程组(1-1-1)中 的分子也可以用二阶行列式表示， 若记 拿末，方程组(1-1-1)的解可表示为 因为 是由方程组(1-1-1)中未知量的四个系数确定的二阶行列式， 故称 为方程组 (1-1-1)的系数行列式。而 分别是 的第1、2 列元素换成常数项所得到的行列式。 【例1】 计算下列行列式 （1） （2） 解 (1） = （2） = 【例2】　求解二元线性方程组 解　将方程组化为标准型 由于 因此方程组的解为 1.1.2 三阶行列式 与二阶行列式类似，引入三阶行列式定义。 定义2 把符号 称为三阶行列 式。它由 个元素 排成三行三列，它代表的是 这样一个算式，即 (1-1-3) (1-1-3)右端的式子称为三阶行列式的展开式。 由（1-1-3）式可见，三阶行列式共含6项，每项均为选自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其计算规律遵循如图1－2所示的对角线法则：图中每条实线（共三条）所连接的三个数的乘积前面加正号，每条虚线（共三条）所连接的三个数的乘积前面加负号，这六项的和就是三阶行列式的值。 图1－2 行列式值的实质就是不同行、不同列的元素乘积的代数和。 【例3】用对角线法则计算行列式 解 1.1.3 阶行列式 1.余子式和代数余子式 对角线法则只适用于二阶行列式和三阶行列式。为了研究四阶和四阶以上的更高阶行列式，我们先来考察二阶行列式和三阶行列式的关系。 由式（1-1-2）和式（1-1-3）可以得出 （1-1-4） 由此可见，三阶行列式等于它第一行每个元素分别与一个二阶行列式的乘积的代数和（也称按第一行展开）。为了进一步了解这三个二阶行列式与原来三阶行列式的关系，我们引入余子式和代数余子式的概念。 在三阶行列式 中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，剩下的元素保持原来相对位置 不变而构成的二阶行列式称为元素 的余子式，记作 。 例如在三阶行列式 中，元素 的余子式是在 中划去第一行和第一列后所 构成的二阶行列式 元素 的余子式是在 中划去第一行和第三列后 所构成的二阶行列式 。 若记 则 叫做元素 的代数余子 。 。 式。 例如 中元素 的代数余子式为 又如行列式 中元素-1的代数余子式为 应用余子式和代数余子式的概念， 式（1-1-4）可以写成 由式（1-1-5）可以看出， 三阶行列式 的值等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和。式（1-1-5）称为三阶行列式按第一行展开的展开式。我们已经定义了二阶、三阶行列式，又用二阶行列式定义了三阶行列式。按照这一规律，我们可用三阶行列式定义四阶行列式。依此类推，在已定义了阶行列式后，便可定义阶行列式。 2.　 阶行列式 定义3 把符号 称为 阶行列式，由 个数 排成 行 列， 其中 表示位于 阶行列式 第 第 列的元素