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* §6.4 异方差性问题的解决方法 一、对原模型进行变换 设原模型为 (6.4.1) 其中ui具有异方差性(其余基本假定都满足)。假定 现在已知 (6.4.2) 其中k2为常数。 用 去除(6.4.1)式两端,则得到新的模型: (6.4.3) 记 (6.4.4) 则模型(6.4.3)变为 (6.4.5) (6.4.5)中的参数α和β即原模型中的参数,但是随 机项 已经没有异方差性了。因为: 因此,对模型(6.4.5)应用OLS法,即可得出参数 α、β的最佳线性无偏估计量,问题得以解决。 二、加权最小二乘法(WLS) 在OLS法中,其基本原则是使残差平方和 (6.4.6) 达到最小,这是对满足经典回归假定而言。 现在我们可以用权数将普通最小二乘法修正为: 使加权残差平方和 (6.4.7) 达到最小。(其中 为 的权数) 这就是加权最小二乘法。 下面我们说明,这种加权最小二乘法同样可以消 除异方差性的影响。 设异方差是xi的函数 (6.4.8) 将(6.4.8)代入(6.4.7)得加权最小二乘法,要求 (6.4.9) 达到最小。 现在对原模型(6.4.1)作变换: (6.4.10) 对(6.4.10)应用普通最小二乘法,要求残差平方和: (6.4.11) 最小。显然,能使(6.4.11)达到最小的 也一 定能使(6.4.9)式达到最小,因为二者只差一个常数 因子 。即两种方法得到的结果相同。 由于用变换的方法能消除随机项ui异方差的影响, 所以用加权最小二乘法也能消除随机项ui异方差 的影响。两种方法实质上是一回事。 对原模型进行变换的方法实际上是加权最小二乘法 当 时的特例,也可以看作是加权最小二乘法 的直接应用。 三、广义最小二乘法 ( GLS ) 广义最小二乘法是处理广义线性模型的一种估计方法。 广义线性模型是指线性模型 (6.4.12) 并且有 (6.4.13) 其中 为未知常数,Ω是一个已知的n×n阶正定 对称矩阵: 其它基本假定不变,称之为广义线性模型。 (5.4.14) 若将Ω换成In,则模型(5.4.12)就变成一般古典线 性模型。因此,一般古典线性模型可以看作广义 线性模型的特例。 由于Ω为正定对称矩阵,必存在一个(n×n)阶非奇 异矩阵P,使得 (5.4.15) 且有 (5.4.16) 利用矩阵P对原模型进行变换,用P左乘(5.4.11)得, (5.4.17) 令 (5.4.18) 则(5.4.17)变为 (5.4.19) 此时 (5.4.20) 可见,变换后的模型(6.4.19),已满足全部基本 假定,可以对模型(6.4.19)应用普通最小二乘法, 求得β的广义最小二乘估计量为 (6.4.21) 将(5.4.18)代入(5.4.21) (6.4.22) (5.4.21)(或(5.4.22))称为广义最小二乘估计式。 这种将原模型(6.4.12)进行适当变换,变为模型 (6.4.19),然后对新模型(6.4.19)应用普通最小二乘 法,求得参数估计量 ,称作对原模型的广义最 小二乘法,记作GLS。 当Ω = In时, (6.4.23) 此时广义最小二乘法就是普通最小二乘法。 参数的方差—协方差矩阵 (6.4.24) 的估计量: (6.4.25) 其中ε为广义最小二乘估计量所对应的模型(6.4.12) 的样本残差。 四、广义最小二乘法的应用之一 —— 异方差问题的处理 设模型 (6.4.26) 或 其中 假定随机项存在异方差,即 (6.4.27) 其余条件皆满足基本假定,此时u的方差—协方差矩 阵具有对角形式:
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