工程数学 教学课件 ppt 作者 周忠荣 等编著第2章 矩阵.ppt

第2章 矩阵 周忠荣 编 第2章 矩 阵 本章主要内容 矩阵、可逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵、准对角矩阵、阶梯形矩阵、矩阵的初等行变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念 矩阵的运算及其性质、分块矩阵的运算、逆矩阵和矩阵的秩的求法 矩阵的实际应用 第2章 矩 阵（续） 对一般线性方程组解的讨论（包括系数行列式等于零的情况和方程组中未知量的个数和方程的个数不相同的情况），需要借助于矩阵这一重要工具。 矩阵是线性代数中最基础的概念之一，也是一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。 2.1 矩阵的概念 某校机电系各专业三年在校学生人数： 2.1 矩阵的概念（续一） 定义2-1 m×n矩阵 2.1 矩阵的概念（续二） 矩阵通常用大写字母A、B、C…表示 矩阵还可以用下面的方法表示 几种特殊矩阵 (1) 当m=n时，矩阵A称为n阶方阵； (2) 当m=1时，矩阵A称为行矩阵，此时 (3) 当n=1时，矩阵A称为列矩阵，此时 (4) 当 时，称A为零矩阵，记为 或O 。 (5) 如果n阶方阵A的主对角线以外所有元素都是0，则称A为n阶对角矩阵。 (6) 如果n阶对角矩阵A的主对角线上的元素全为1，则称A为n阶单位矩阵，记为 En或E，即 2.1 矩阵的概念（续五） 矩阵与行列式的区别 行列式表示的是一个数 矩阵表示的是一个数表 想明白下面的两个式子！ 2.2 矩阵的运算及其性质 本节内容 2.2.1 矩阵的加法与数乘 2.2.2 矩阵的乘法 2.2.3 矩阵的转置 2.2.4 方阵的行列式 2.2.1 矩阵的加法与数乘 定义2-2 若矩阵A和矩阵B的行数和列数分别相等，则称A、B为同型矩阵。 定义2-3 若矩阵A和矩阵B为同型矩阵，即 并且对应的元素相等： 则称矩阵A和矩阵B相等，记为A=B 。 2.2.1 （续一） 定义2-4 将两个同型矩阵A和B的对应元素相加得到的矩阵C，称为矩阵A和B的和，记为 C=A+B 其中 2.2.1 （续二） 定义2-5 以常数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵C 称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘，记为C＝kA 其中 2.2.1 （续三） 矩阵的加法与数乘满足以下运算性质 (1) A+B=B+A (2) A+(B+C)=(A+B)+C (3) A+O=O+A= A (4) k(A+B)= kA+ kB (5) (k+l)A = k A+ lA (6) (kl)A = k(lA) 2.2.1 （续五） 补充例题2 已知 求 2A+3B 2.2.2 矩阵的乘法 实例 电设备专业学生应交学费总额 机电设备专业学生应交学费总额为 52×3800＋55×3900＋64×3950=664,900（元） 2.2.2 矩阵的乘法（续一） 定义2-6 矩阵A与B矩阵的乘积 则C=AB 2.2.2 矩阵的乘法（续二） 为了帮助理解和记忆，矩阵乘法可形象地表示如下。 2.2.2 矩阵的乘法（续三） 矩阵乘法的行乘列规则 只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数时，两矩阵才能相乘；并且，乘得矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数，如下图所示。 2.2.2 矩阵的乘法（续四） 例2-3 利用矩阵乘法计算前面所举实例中各专业学生应交学费和书费的总额。 解 2.2.2 矩阵的乘法（续五） 例2-4 设 求(1)AB，(2)BA 2.2.2 矩阵的乘法（续六） 解 (1) 2.2.2 矩阵的乘法（续七） 续解 (2) 2.2.2 矩阵的乘法（续八） 例2-5 设 求(1)AB，(2)BA 解 (1) (2) 2.2.2 矩阵的乘法（续九） 例2-6 设 求(1)AB，(2)BA。 例2-7 设 求(1)AB，(2)AC 2.2.2 矩阵的乘法（续十） 关于矩阵乘法有以下几点值得注意。 (1) 只有左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等时，A与B才能相乘，称为行乘列规则。通常称AB为A左乘B（或B右乘A）。 (2) 如果A能左乘B，并不保证B一定能左乘A（如例2-3）。 2.2.2 （续十一） (3) 如果AB和BA都存在，它们可能不是同型矩阵（如例2-4），也可能是同型矩阵（如例2-5、例2-6）