工程力学 教学课件 ppt 作者 李章政 编第09章应力状态分析.ppt

工 程 力 学 第9章 应力状态分析 一、应力状态和单元体 1. 应力状态 通过受力物体上一点的任意截面上 的应力情况 = 一点的应力状态 2. 单元体 围绕一点取出正六面体：三对面 每对面上3个应力分量：共9 个 考虑到剪应力互等定理，9个应力分量中6个独立 应力分量已知的单元体称为原始单元 3. 基本变形应力单元 5. 主应力和主方向 （1）主应力 主平面上的正应力称为主应力。过一点存在三对相互正交的主平面，由此构成主单元。受力物体上任意一点均有三个主应力。 二、应力状态分类 1. 分类依据 根据不为零的主应力个数分类。 2. 分类结果 单向应力状态（单轴应力状态） 仅一个主应力不为零者，可能的情况有： ?1、0、0 — 单向拉伸； 0、0、?3 — 单向压缩。 二向应力状态（双轴应力状态，平面应力状态） 有二个主应力不为零者，可能的情况有 ?1、 ?2 、0；双向受拉 ?1、0、 ?3 ；一拉一压 0、 ?2 、 ?3；双向受压 三向应力状态（三轴应力状态） 三个主应力均不为零者 9.2 平面应力状态分析 一、斜截面上的应力分量 已知条件 一个主应力为零：设为前后面 正应力和剪应力 ?x ——拉为正 ?y ——拉为正 ?xy ——绕单元体顺时针转者为正 图示应力均为正值 2. 斜截面上应力分量 容易得到 特殊情况一：单向拉伸或压缩 特殊情况二：扭转等纯剪切 例9.1 图示单元体，试计算?=60?及?=-45?斜面上的应力分量。 解：已知 二、极值应力 1. 极值正应力 主平面方位 剪应力（切应力）为零的平面为主平面，该面与铅垂面的夹角?0，称为主方向。 主应力大小为 2. 极值剪应力 极值剪应力 例9.2 求纯剪应力状态的主应力。 解： 例9.3 求图示拉剪应力单元的主应力值和最大剪应力值。 解： 例题9.4 计算图示单元体ab面上的应力及主应力数值、主方向。 解： 所以 9.3 应力圆及其应用 一、平面应力状态应力圆 1. 圆的方程 （1）斜截面应力 以?为横坐标、?为纵坐标的圆的方程。圆心 C 坐标为： 2. 应力圆的作法 （1）画坐标系?—? 二、应力圆的应用 1. 主应力和主方向 主应力 主方向 2. 极值剪应力 最高点G的纵坐标为剪应力的极大值 最低点G ?为剪应力的极小值 9.4 空间应力状态简介 一、主应力 1. 应力单元 空间应力单元 三对面9个应力分量 剪应力互等定理：?ij= ?ji 2. 主应力 主应力就是应力矩阵的特征值 二、莫尔圆和八面体上的应力 1. 莫尔应力圆 三个主应力形成三个应力圆 任意斜截面上的应力位于大小圆之间的阴影面积内 2. 正八面体上应力 正八面体概念 正八面体上应力 例9.5 应力单元如图所示，求主应力和最大剪应力 解 9.5 广义胡克定律 一、应力—应变关系 1. 主应力表示的物理关系 2. 一般坐标下的物理关系 3. 应用于应变测量 测量方法 电阻应变测量 光纤测量 直接测正应变，间接测剪应变 二、体积应变 1. 体积应变的定义 2. 体积应变和应力的关系 例9.6 已知?x=35MPa, ?y=25MPa, 沿z方向的应变完全被限制住，试求?z和 ?x、?y（E=200GPa, ?=0.3）。 解 利用物理关系求解本题 应力矩阵如下 且 3?3阶对称矩阵 三个应力由如下行列式所表示的关于?的一元三次方程求解 应力矩阵的特征矢量就是相应主方向 x2 x1 x3 应力矩阵 主应力控制方程 展开得 x1 30 20 x2 x3 20 40 单位为MPa 即 x1 30 20 x2 x3 20 40 解得三个根 三个主应力 最大剪应力 本题的应力状态比较特殊，可有另一种解法 x1 30 20 x2 x3 20 40 前后面上无剪应力，就是一对主平面。已知一个主应力-30MPa，余下的应力分量按平面应力考虑。 三个主应力 结果完全一样！ ?1 ?2 ?1 ?2 ?3 ?3 其中的应变分量称为主应变，最大主应变为 对于平面应力状态，应为?z=0，所以 但 光纤传感器 电阻应变测试 测定构件表面一点三个方向的正应变（应变花），就可以计算出x、y方向的正应变，剪应变，利用胡克定律计算应力，并求出主应力。 任意方向的正应变满足关系 所以 应力分量为 进一步，按平面应力状态分析主应力和主方向 a b c z x y a1 b1 c1 z x y 略去二阶以上微量 体积应变等于三个正应变之和 ? = 0.5，不可压缩材料 + 三个正应力之和除以3为平均正