概率论与数理统计 教学课件 ppt 作者 韩世迁 主编第八章 点估计.pptx

概率论与数理统计 第八章 点估计 第八章 点估计1点估计的方法2估计量的评价标准第一节 点估计的方法估计量和估计值1矩估计2最大似然估计3一、估计量和估计值定义1 设总体的分布函数为 F(x; ), 为待估参数， 是来自总体X的一个样本， 是相应的一个样本值。用统计量 来估计 ，称 为 的估计量(Estimator)， 为 的估计值。二、矩估计例1 设总体为指数分布，其密度函数为 ， 是样本，求 的矩估计量和估计值。解： ，解得 ，由矩估计法， 的矩估计量， 即为 的矩估计值。二、矩估计例2 设 是来自均匀分布 上的样本，a， b是未知参数， 是样本，求a,b的矩估计量。解： ，列出方程 解出 ，即为a,b的矩估计。三、最大似然估计定义2 设 为来自总体 的样本，则（ ）的联合分布记为 称为样本的似然函数(Likelihood function)。如果统计量 满足 则称 是 的最大似然估计(Maximum likelihood estimate)。三、最大似然估计当 关于 可微时，一般可用如下方法求最大似然估计：(1)求 (2)求(3)求三、最大似然估计例3 设 是来自 的样本， 是二维参数。求 的最大似然估计量。解：总体X的密度函数为： 似然函数为三、最大似然估计对数似然函数为：对数似然方程为：三、最大似然估计例4 设 是来自均匀分布 的样本， 未知，求 的最大似然估计量。解：总体X的密度函数为： 似然函数故 是的最大似然估计量。 第二节 估计量的评价标准相合性（一致性）1无偏性2有效性3一、相合性（一致性）点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，当样本量不断增大时，我们要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性(Consistency)。一、相合性（一致性）定义3 设 为未知参数， 是 的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个 ，有 ，则称 为参数 的相合估计。一、相合性（一致性）定理1是 的一个估计量，n是样本容量，若 ， ，则 为参数 的相合估计。一、相合性（一致性）一、相合性（一致性）例6设总体 ， 为未知参数， 是样本，证明 的最大似然估计是相合估计。解：此处的似然函数为 ， 由上式可以看出， 是 的单调减函数，要使其最大， 的取值应该尽可能的大，由于限制 ，这给出 的最大似然估计为 。一、相合性（一致性）由此可见 是 的相合估计。二、无偏性相合性是大样本下估计量的评价标准，对小样本而言，无偏性(Unbiasedness)便是一个常用的标准。二、无偏性定义4 设 为未知参数， 是 的一个估计量，n是样本容量，若对任意的 ，有 则称 为参数 的无偏估计(Unbiased estimate)。否则称为有偏估计。二、无偏性例7 设 是总体 的样本，有 ， 故 是 的无偏估计， 是的无偏估计。三、有效性参数的无偏估计可以有很多，如何在无偏估计中进行选择？人们常用无偏估计的方差的大小作为度量无偏估计优劣的标准，即有效性(Effectiveness)。三、有效性定义5设 是 的两个无偏估计，如果对任意的 有且至少有一个 使得上述不等号严格成立，则称 有效。三、有效性例8 设总体的方差存在且大于零， ，设X1,X2是总体的一个样本，则 和 都是的无偏估计量，但 比更有效。证明 由于 ，故 , 因此 和都是 的无偏估计量。而 , 所以， 比 更有效。三、有效性1. 无偏性：三、有效性2.有效性：三、有效性3.相合性：Thank you