自动控制原理 教学课件 ppt 作者 孙优贤 王慧 主编第九章-2-Lyapunov.ppt

* 常数V圆和典型轨迹 由于圆 完全处在 的内部，所以典型轨迹从外向里通过V圆的边界。因此李雅普诺夫函数的几何意义可阐述如下：V(x)表示状态 x 到状态空间原点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态 x(t) 之间的距离随t 的增加而连续地减小（即 ），则x(t)→0。 Lyapunov 稳定性分析 4. Lyapunov第二法（直接法） * 进一步地，若 ， ，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。 定理9-2 考虑如下非线性系统 式中 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x, t)，且满足以下条件： 　　　1、V(x, t) 正定； 2、 负定 则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。 f(0, t)≡0, 对所有 Lyapunov 稳定性分析 4. Lyapunov第二法（直接法） * 例 9-3 考虑如下非线性系统： 判断其稳定性。 解：显然，原点（ ， ）是唯一的平衡状态。 如果定义一个正定标量函数V(x) 是负定的，这说明V(x)沿任一轨迹连续地减小，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。由于V(x)随 x 偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理9-2，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 Lyapunov 稳定性分析 4. Lyapunov第二法（直接法） * 定理9-2是李雅普诺夫第二法的基本定理，下面是几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们能构造出李雅普诺夫函数V(x, t)，那么系统是渐近稳定的。但李雅普诺夫函数不是惟一的。 (2) 对于渐近稳定的平衡状态，则李雅普诺夫函数必存在。 (3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的李雅普诺夫函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。 (4) 稳定性定理9-2 ，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。 定理9-2 的限制条件，　　　必须是负定函数，能否放宽？－－除了原点外，沿任一轨迹　　　　均不恒等于零。 Lyapunov 稳定性分析 4. Lyapunov第二法（直接法） * 　注意，这是若V(x,t)不是负定的，而只是负半定的 的情况. 定理9-3 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统 式中 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x, t)，且满足以下条件： 　　1、V(x, t) 是正定的； 2、 负半定的； 3、　　　　　　 对于任意 和任意 ，在 时，不恒等于零，其中的 表示在 时从 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 f(0, t)≡0, 对所有 令 　　　　　求解，为全零解 Lyapunov 稳定性分析 4. Lyapunov第二法（直接法） * 关于稳定性 定理9-4 (李雅普诺夫) 考虑如下非线性系统 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x, t)，且满足以下条件： 　　1、V(x, t) 是正定的； 2、 负半定的； 3、　　　　　　 对于任意 和任意 ，在 时，均恒等于零，其中的 表示在 时从 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 式中 f(0, t)≡0, 对所有 Lyapunov 稳定性分析 4. Lyapunov第二法（直接法） * 关于不稳定性 定理9-5 (李雅普诺夫) 考虑如下非线性系统 若存在一个标量函数 W(x, t)，具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件： 　　1、W(x, t)在原点附近的某一邻域内是正定的； 2、 在同样的邻域内是正定的； 式中 f(0, t)≡0, 对所有