自动控制原理 教学课件 ppt 作者 孙优贤 王慧 主编第五章_3 绘制法则 2课件.ppt

σ jω K↑ θy λy * 法则 8: 根轨迹的交叉点 根轨迹——绘制法则（K0） 例 5-12: 用MATLAB绘制的根轨迹 K↑ * 法则 8: 根轨迹的交叉点 根轨迹——绘制法则（K0） 法则 9:系统根之和的守恒 考虑如下形式的开环传递函数 闭环特征方程 其中 ri 是根轨迹上的点 * 根轨迹——绘制法则（K0） 方程两侧表示为多项式形式 对于w ≤ n-2的开环传递函数, 令方程两端 sn-1 的系数相等，可以得到 * 法则 9:系统根之和的守恒 根轨迹——绘制法则（K0） m 个开环极点为零 pj 表示所有的开环极点 rj 表示闭环特征方程的根 结论: 对于w ≤ n-2的开环传递函数，当系统增益由0变化到∞时, 系统的根之和是常数. 换句话说, 系统的根之和与K无关 * 法则 9:系统根之和的守恒 根轨迹——绘制法则（K0） 回 顾 法则 1:根轨迹的终点 法则 2:根轨迹的分支数、对称性和连续性 法则 3:根轨迹的渐近线 法则 4:实轴上的根轨迹 法则 5:根轨迹的分离点 法则 6: 复数极点 (或零点)的出射角(入射角 ) 法则 7: 根轨迹与虚轴的交点 法则 8: 根轨迹分支的交叉点与非交叉点 法则 9:系统根之和守恒 * 根轨迹绘制法则——举例 根轨迹——举例 例 5-13 开环传递函数G(s)H(s), 绘制根轨迹 2) 两条根轨迹 3) 实轴上的根轨迹(-∞,-2] 1)开环极点: 开环零点: σ jω 0 4) 渐近线夹角 -2 -1+j1 -1-j1 5) 实轴上的分离点d 或者 分离角: 舍弃 σ jω 0 -1+j1 -2 -1-j1 -3.414 根轨迹——举例 6) 极点–1+j1处的出射角Φ1D 类似地，极点 –1-j1处的出射角是 –135°. σ jω 0 -1+j1 -2 -1-j1 -3.414 K↑ 可以证明，这个系统的根轨迹上以(-2, j0) 为圆心，以1.414为半径的圆 * 根轨迹——举例 可以证明，这个系统的根轨迹上以(-2, j0) 为圆心，以1.414为半径的圆 假设s=u+jv 是根轨迹上的一个点，根据相角条件 将 z1, p1, p2 和s=u+jv 代入上述方程 应用公式 方法 1 * 根轨迹——举例 这是圆的方程 * 根轨迹——举例 假设s=u+jv 是根轨迹上的一个点, 将它代入特征方程 方法 2 令方程的实部和虚部分别为零 和 * 根轨迹——举例 由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，一定是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。 * 根轨迹——举例 例5-14 开环传递函数G(s)H(s), 试绘制根轨迹 2) 有四条根轨迹分支 3) 实轴上的根轨迹：[-2, 0] 1)开环极点: 开环零点: σ jω 0 -1+j1 -2 -1-j1 根轨迹——举例 4) 渐近线的夹角 渐近线与实轴的交点 σ jω 0 -1+j1 -2 -1-j1 -1 根轨迹——举例 5) 实轴上的分离点 分离角: σ jω 0 -1+j1 -2 -1-j1 -1 3重 极点: 有4 条根轨迹分支在该点会合 根轨迹——举例 6) 极点–1+j1处的出射角 Φ3D 类似地, 极点-1-j1处的出射角为 90°. σ jω 0 -1+j1 -1-j1 -1 -2 K↑ * 根轨迹——举例 6-1) 进入该点的相邻两条根轨迹分支的夹角 σ jω 0 -1+j1 -1-j1 -1 -2 6-2) 离开该点的一条根轨迹分支与相邻的进入该点的根轨迹分支的夹角 45o 90o K↑ * 根轨迹——举例 7) 根轨迹与虚轴的交点 特征方程: Routh表: 由 s2 行构造的辅助方程 : * 根轨迹——举例 当 K5, 系统将不稳定. 根轨迹 K↑ * 根轨迹——举例 根轨迹的起止：起于开环极点，终于开环零点或无穷远点 根轨迹的分支数：=max(n, w) 　　当nw时，等于开环极点数；当wn时，等于开环零点数 根轨迹的对称性：关于实轴对称 实轴上的根轨迹：当右面的开环零极点之和为奇数的部分 根轨迹的渐近线：当nw时，共有（n-w）条： 绘制根轨迹（K＞0）的方法小结（1） 与实轴的夹角为　　　　　　　 交点为 分离点与会合点（必是 l 重根） 　 由　　　　　　 确定，且与实轴成　　　　　角度离开（会合） 或 * 绘制根轨迹（K＞0）的方法小结（2） 与虚轴的交点：由Routh判据求得，或直接将s=j