自动控制原理 第二版课件 教学课件 ppt 作者 王永骥 王金城 王敏 主编 chap9第9章 状态空间分析与综合－10.ppt

* * 9.7 李雅普诺夫稳定性分析 9.7.1 李雅普诺夫意义下的稳定性问题 9.7.1.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统 式中x为n维状态向量，f (x, t)是变量 和t的n维向量函数。假设在给定的初始条件下，式(9-176)有唯一解 , 当 时， ，于是 . 则称为系统的平衡状态或平衡点。 (9-176) (对所有t) (9-177) 如果系统是线性定常的，也就是说f(x, t) = Ax，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在 ）。平衡状态的确定不包括式(9-176)的系统微分方程的解，只涉及式(9-177)的解。 任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动x=g(t)都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即f(0, t) =0或 。 在本节中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点( )处之平衡状态的稳定性问题。 9.7.1.2 李雅普诺夫意义下的稳定性定义 定义9-168 (李雅普诺夫意义下的稳定) 设系统 之平衡状态 的H邻域为 其中，H0， 为向量的2范数或欧几里德范数，即 在H邻域内，若对于任意给定的0 ε H，均有 (1) 如果对应于每一个S(?)，存在一个S(?)，使得当t趋于无穷时，始于S(?)的轨迹不脱离S(?)，则式(9-176)系统之平衡状态xe=0称为在李雅普诺夫意义下是稳定的。 , (2) 如果平衡状态xe=0，在李雅普诺夫意义下是稳定的，并且始于域S(?)的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离S(?)，且收敛于xe=0，则称式(9-176)系统之平衡状态xe=0为渐近稳定的，其中球域S(?)被称为平衡状态xe=0的吸引域。 (3) 对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。 (4) 如果对于某个实数? 0和任一个实数? 0，不管这两个实数多么小，在S（?）内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(?)，那么平衡状态xe=0称为不稳定的。 图9-22（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。 图9-20 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹 在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在李雅普诺夫意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。 经典控制理论 (线性系统) 李雅普诺夫意义下 不稳定 (Re(s)0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)0) 稳定 渐近稳定 9.7.1.3 预备知识 1、纯量函数的正定性 如果时变函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数，使得 则称时变函数V(x, t)在域?（?包含状态空间原点）内是正定的。 3、纯量函数的正半定形 V(x, t) V(x), 对所有 V(0, t)＝0 , 对所有 2、纯量函数的负定性 如果 - V(x)是正定函数，则纯量函数V(x)称为负定函数。 如果纯量函数V(x)除了原点以及某些状态等于零外，在域?内的所有状态都是正定的，则V(x)称为正半定纯量函数。 4、纯量函数的负半定性 5、纯量函数的不定性 6、二次型 二次型V(x)的正定性可用赛尔维斯