自动控制原理 第二版课件 教学课件 ppt 作者 王永骥 王金城 王敏 主编 chap55-4 奈奎斯特.ppt

§ 5-4 奈奎斯特稳定判据 第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。 一、幅角定理 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。 设有一复变函数 （5-105） 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数. 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则 如图5—37所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点。 如图5—38所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲 线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数 的性质而定。 （二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线?s，并使?s不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线?s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线?F。当解析点s按顺时针方向沿?s 变化一周时，则在 平面上， ?F 曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2?弧度为一周），或 ?F 按逆时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线?s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z （5—108） 式中，若N0，则?F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N0，则?F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则?F不包围F(s)平面坐标原点。 在图5—38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被?s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由式（5—108）得 N=P-Z=1-2=-1 说明?s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线?F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线?s 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z。 前面我们已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此当我们从 平面上确定了封闭曲线?F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线?s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来 Z=P-N （5-109） 封闭曲线?s和?F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单说明。 设