自动控制原理 教学课件 ppt 作者 孙优贤 王慧 主编第四章-1-劳斯稳定性判据.PPT

* 劳斯阵列 + - + 首次符号变化 第二次符号变化 在首列中，发生了 2 次符号变化，因此有2 个特征根位于 S 平面的右半平面，系统不稳定。 劳斯稳定性判据 例 1 事实上，系统特征根为： 劳斯稳定性判据 * 在应用劳斯判据判定系统稳定性时，可以会遇到 3 种情况： (1) 首列无零元素 (2) 首列有零元素，但在零元素所在的行中具有非零的其他元素 (3) 劳斯阵列的某一行元素均为零 劳斯稳定性判据 劳斯稳定性判据 * 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素 例 2 ：二阶系统 二阶系统的特征多项式为： 劳斯阵列为： 其中， 结论：二阶系统稳定的充分必要条件是，特征多项式的所有系数都具有相同的符号。 劳斯稳定性判据 * 例 3：三阶系统 三阶系统的特征多项式为： 劳斯阵列为： 其中， 结论：三阶系统稳定的充分必要条件是，特征多项式所有系数均为正数，且有 劳斯稳定性判据 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素 * 例 4：不稳定的三阶系统 劳斯阵列首列元素符号变化 2 次，表示系统有 2 个特征根位于 S 平面的右半平面，这是一个不稳定系统。 如果一个三阶系统具有特征根 ，则系统显然是不稳定的（具有 2 个不稳定的极点）。 系统特征多项式为： 劳斯阵列为： + + - 由 可知，系统不稳定。 劳斯稳定性判据 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素 * 例 5：设计例子 劳斯阵列为： 考虑具有如下特征多项式的三阶系统，求取使系统稳定的 K 值。 结果： 定理 1：劳斯阵列的任意一行元素可以同时乘以或除以一个正数，而不会改变首列元素的符号。 对于三阶系统，如果系统稳定，则要满足： 劳斯稳定性判据 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素 * 劳斯阵列为： 例 6： 判定如下系统是否稳定，系统特征多项式为： 定理 1：劳斯阵列的任意一行元素可以同时乘以或除以一个正数，而不会改变首列元素的符号。 首列元素符号变化 2 次，有 2 个特征根位于 S 平面的右半平面，系统不稳定。 劳斯稳定性判据 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素 * 方法 1：将 s=1/x 代入原方程。 符号变化了 2 次，系统不稳定，且有 2 个极点位于 S 平面的右半平面。 注意：在 Q(s) 和 Q(x) 的系数相同的情况下，该方法无效。 如果首列具有零元素，可以采用两种方法进行处理。 令 s=1/x，并重新整理特征多项式 劳斯阵列为： 例 7： 新的劳斯阵列为： 劳斯稳定性判据 情况 2：劳斯阵列第一列有零元素 * 方法 2：将原特征多项式乘以因式 (s+1) 结果同方法 1 的结果一致。 符号变化了 2 次，系统不稳定，且有 2 个极点位于 S 平面的右半平面。 如果首列具有零元素，可以采用两种方法进行处理。 乘以 (s+1)，并重新整理特征多项式 例 8： 新的劳斯阵列为： 劳斯阵列为： 劳斯稳定性判据 情况 2：劳斯阵列第一列有零元素 * 情况 3：劳斯阵列有全零行 如果劳斯阵列具有全零行，则系统特征方程具有对称于原点的实根或复根，且具有如下形式： 如果劳斯阵列的第 i 行（ 对应的行）元素全为零，我们将根据该行的上一非零行构造如下的辅助多项式 其中， 是上一非零行的系数，辅助多项式的阶次为对称特征根的个数。 然后，将原劳斯阵列表中第 i 行元素替换为辅助多项式关于 s 的导函数的系数，并继续完成劳斯阵列表，以获得关于除对称特征根外的其它特征根的信息。 劳斯稳定性判据 * 返回例 5，并令 K=8，得到相应的劳斯阵列。 例 9： 劳斯阵列为： K=8 除位于虚轴上的极点对（s=?2j）外，其余极点均位于 S 平面的右半平面。 利用上一非零行构造辅助多项式，并继续完成劳斯阵列。U(s) 的根也是 的根。 劳斯稳定性判据 情况 3：劳斯阵列有全零行 * 判定如下系统的稳定性，系统特征方程为： 例 10： 劳斯阵列首列元素符号无变化，因此没有具有正实部的特征根，但是虚轴上有一对极点（s=?3j）。 辅助方程为： 劳斯阵列为： 劳斯稳定性判据 情况 3：劳斯阵列有全零行 * 例子 利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。 例 11：已知系统特征方程为： 解：特征多项式的所有系数均为非零正数，满足系统稳定的必要条件。 劳斯阵列为： 首列所有元素均为正数，系统稳定。 事实上，系统特征方程可以因式化为： (s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0 所有的根都具有负实部，因此系统稳定。 劳斯稳定性判据 * 解：特征多项式的所有系数均为非零正数，满足系统稳定的必要条件。 利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。 例 12：已知系统特征方程为： 首