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3.2.2 最大剪应力 式(3-4)表示单位长度扭转角与扭矩间关系,是计算圆轴扭转角的基本公式,式(3-5)为圆轴扭转时横截面上任意一点处剪应力的计算公式。很显然,当 时 ;当 时,剪应力有最大值 (2)计算极惯性矩:AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为 §3.3 扭转变形 圆周扭转时,发生的扭转变形大小用任意两个截面之间的相对扭转角来表示。 扭转角用ψ 表示。单位为弧度(rad),工程中常用度( °)作扭转角的单位,换算关系为 rad=180/π 单位扭转角是单位长度上的扭转角,用符号θ 表示,通常用来表示扭转变形的程度 θ = ψ/l=T/GIp(rad/m) * * 第3章 轴的扭转强度与刚度 §3.1扭距的计算 §3.2扭转时的应力分析 §3.3扭转变形 §3.4扭转强度和刚度计算 受力特点:垂直于杆件轴线平面内,大小相等,转向相反,作用平面平行的外力偶矩. 变形特点:杆件任意两横截面都发生了绕杆件轴线的相对转动。 这种形式的变形称为扭转变形。 3.1.1 扭转的概念 §3.1 扭矩计算 图 3 – 1车床传动轴示意图 图 3 - 2 汽车方向盘受力示意图 例如车床上的电动机,通过联轴器、皮带将动力传递给传动轴,从而带动工件旋转以进行切削加工(图3-1);再如汽车方向盘上的轴CD(图3-2)等,这些杆件都要受到扭转,都是扭转的工程实例。通常把扭转变形的杆件称为轴。 3.1.2 外力偶矩的计算 对于传动轴等转动构件,通常已知道它们的转速和所传递的功率,其外力偶矩可以通过下式计算。 式中 : ─外力偶矩,单位N·m,P─功率,单位kW,n─转速,单位r/min。 对于传动轴,外力偶矩的方向可根据下列原则确定:主动轮上的外力偶矩与轴转向相同;从动轮上的外力偶矩与轴转向相反。 3.1.3 扭转时横截面上的内力——扭矩 轴上的外力偶矩确定之后,可据此分析计算轴的内力。假设轴在外力偶矩 、 和 的作用下处于平衡状态(图3-3(a)),现运用截面法分析I-I截面上的内力。要分析任意截面I-I截面上的内力,先用假想截面沿I-I处截开,取其左段为研究对象(图3-4(b))。由力偶的平衡条件可知,在横截面I-I上分布的内力必然构成一内力偶与 平衡。该内力偶作用于I-I截面内,此内力偶矩被称为扭矩。为了与外力偶矩区别,用符号 表示。扭矩 的大小可由力偶平衡方程求得。 图 3–3 截面法求内力 如取左段为研究对象(图3-3(b),有 ,得 如取右段为研究对象(图3-3(c)),有 ,得 由于轴处于平衡状态,有 ,即 故可得: T与T’同为I-I截面上的扭矩。它们大小相等,转向相反。为使扭矩转向能有统一的规定,并使截面法的计算过程得到简化,可在截面法基础上运用扭矩计算法则来计算扭矩: 1)、扭矩T=截面一侧所有外力偶矩的代数和。 2)、扭矩的正负可用右手定则来判定:即四指环绕的方向为扭矩方向,拇指的指向离开截面为正;反向为负。 3.1.4 扭矩图 当轴受多个外力偶矩作用时,各段上的扭矩是各不相同的。为了形象的表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化情况,以便分析危险截面。常需画出扭矩随截面位置变化的函数图象。通常用横坐标代表横截面的位置,纵坐标代表各横截面上的扭矩大小,这样作出的图象称作扭矩图。其画法与轴力图类似。以例3-1说明扭矩图的作法。 例3-1 传动轴受力如图3-4所示。转速n=300r/min,主动轮A的输入功率 kW,从动轮B、C、D的输出功率分别为 kW, kW。试画出轴的扭矩图。并确定轴的最大扭矩值。 解 (1)外力偶矩计算: 根据转速和功率计算出各轮上的外力偶矩,并画出轴的受力简图。 图3-4 扭矩图的作法 2)扭矩计算: 首先分段,计算出各段的扭矩值。 DA段: 取左侧 AB段: 仍取左侧 BC段:为计算方便可取右侧,左侧挡去,截面外法线改为向左. 扭矩负号表示与真实方向相反。 (3)作出扭矩图: 扭矩图要求在受力简图的下方做出,截面位置与受力简图一一对应。由于相邻外力偶矩之间所有截面扭矩值相同,故整个轴的扭矩图为三段水平直线。将三段水平直线用竖线连成封闭区域,区域内标明正负,用等距竖线填充,然后在水平直线上方(下方)标明扭矩值。这样就作出完整的扭矩图。 扭矩图中每相邻两段间扭矩的差值正好等于两段相邻处外力偶矩的值,可利用这一点快速检验扭矩图是否正确。
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