自动控制原理 教学课件 ppt 作者 王锁庭 李洪涛 主编第6章 自动控制系统的根轨迹分析法.ppt

6.3 广义根轨迹 6.3.1 参量根轨迹 除根轨迹增益Kg（或开环增益K）以外的其它参量从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参量根轨迹。 绘制参量根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只需要在绘制参量根轨迹之前，引入“等效开环传递函数”，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制Kg变化时根轨迹的形式来处理。 例6-6 某系统开环传递函数为 ，试绘制以a为参变量的根轨迹。 解 系统的闭环特征方程为 构造等效开环传函，把含有可变参数的项放在分子上，即 由于等效开环传递函数对应的闭环特征方程与原系统闭环特征方程相同，所以称G1(s)H1(s)为等效开环传递函数，而借助于 G1(s)H1(s)的形式，可以利用常规根轨迹的绘制方法绘制系统的根轨迹。但必须明确，等效开环传递函数G1(s)H1(s)对应的闭环零点与原系统的闭环零点并不一致。在确定系统闭环零点、估算系统动态性能时，必须回到原系统开环传递函数进行分析、讨论和计算。 等效开环传递函数有3个开环极点：p1=0,p2=p3=-1/2;系统有3条根轨迹，均趋于无穷远处。 ①实轴上的根轨迹 :[-∞,-1/2], [-1/2,0] ②根轨迹的渐近线： ③分离点： 解得：d=-1/6 由模值条件 得分离点处的a值： ④与虚轴的交点：将s=jω代入闭环特征方程，得 解得： 1 2 1 2 ﹣ 1 2 ﹣ ﹣ 1 3 1 6 ﹣ d= (a=1) 系统阶跃响应为单调过程； 系统阶跃响应为振荡收敛过程； 系统不稳定，阶跃响应振荡发散。 6.3.2 正反馈零度根轨迹 在正反馈条件下，当系统特征方程为D(s)=1-G(s)H(s)=0 时，此时根轨迹方程为G(s)H(s)=1 ，相角条件为∠G(s)H(s)=2kπ,k=0,±1, ±2,...，相应绘制的根轨迹称为零度（或0°）根轨迹。 系统的开环传递函数用开环零、极点来表示 零度根轨迹方程 幅值条件： 相角条件： 0°根轨迹幅值条件与180°根轨迹幅值条件相同 0°根轨迹相角条件与180°根轨迹相角条件不同 180°根轨迹法则中与相角条件无关的法则可直接用来绘制0°根轨迹，而与相角条件有关的规则三、规则四、规则七需要相应修改。 规则三* 实轴上的根轨迹应改为：实轴上的某一区域，若其右边开环零点和开环极点的数目之和为偶数，则该区域必是根轨迹。 规则四* 根轨迹的渐近线与正实轴的夹角应改为 规则七* 根轨迹的出射角和入射角公式应改为 出射角： 入射角： 例6-7 某正反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 解 系统为正反馈，应绘制0°根轨迹。 有4个开环极点：p1 = -3，p2 = -1+j，p3 = -1-j，这3个开环极点即为根轨迹的起点；系统有1个开环零点：z1 = -2。 系统有3条根轨迹分支，且有n-m = 2条根轨迹趋于无穷远处。 ①实轴上的根轨迹：根据规则三*，实轴上的根轨迹区段为： （-∞,-3 ]，[-2, ∞ ） ②根轨迹的渐近线：根据规则四*，根轨迹的渐近线与实轴夹角和交点为 ③分离点：根据规则五，求分离点坐标 由N’(s)D(s)=N(s)D’(s)可得 分离点应位于实轴上，故取s=-0.80 ④出射角：根据绘制0°根轨迹的规则七*，对应极点 p1=-1+j,根轨迹出射角为 根据对称性，根轨迹从p2=-1-j的起始角为 0 0.5 0.5 -0.5 -1 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 1 j × × × p1 p2 p3 z1 26.6 45 90 -71.6 绘制系统根轨迹 6.4 利用根轨迹分析系统性能 6.4.1 利用闭环主导极点估算系统的性能指标 在闭环极点中离虚轴最近且附近又无零点的闭环极点，对系统的响应影响最大，起着主要作用的极点，称为主导极点。 可以是实极点，也可以是复数极点 一般地说，在某一K值下的极点中，其他极点的实部比主导极点的实部大5倍以上时，这些极点对系统的动态性能的影响可以忽略，一般工程上将2~3倍及以上的非主导极点的影响略去不计。在工程中利用主导极点可以对高阶系统进行降阶处理，从而可利用一阶或二阶系统的指标计算式对系统进行指标估算。 例6-8 已知某单位反馈系统的开环传递函数为 试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼 状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比 的K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。 解 (1)绘制根轨迹 该系统有3个开环极点：p1 = 0，p2 = -1，p3 = -2，这3个开环极点即为根轨迹的起点；系统没有开环零点。 ①实轴上的根轨迹：实轴