计量经济学精编本课件于俊年 ISBN9787811343038 PPT精8.2.pptVIP

* §8.2 非线性概率模型 一、逻辑模型 在线性概率模型中，对不满足条件 0≤ ≤1 的处理方法是： 当 ＜0时，取 =0 当 ＞1时，取 =1 相应的图形，如图8.2.1所示。 图8.2.1 改进后的线性概率模型中的样本回归直线 y x 0 我们可用与图8.2.1相类似的非线性函数—逻辑函数， 来逼近图8.2.1中的函数曲线： (8.2.1) 其中 ，pi为采取某选择的概率，xi为自 变量。这个函数具有我们希望的良好性质，它的图 形是一条S型曲线。 当 时， 当 时, (8.2.2) 当 根据(8.2.1)和(8.2.2)可以画出逻辑函数的图形， 如图8.2.2所示 pi 0 z i 图8.2.2 逻辑函数曲线 由(8.2.1)可得 (8.2.3) 对(8.2.3)式两边取对数： (8.2.4) 我们可以把 整体看作一个变量，于是便 有线性回归模型 (8.2.5) (8.2.5)式称为逻辑模型。 二、逻辑模型的估计方法 (一) 因变量观测值可以分组的情形 我们仍然以分析居民家庭购买某些耐用商品的状 况，比如说购买汽车的状况为例。假设样本容量 足够大，以至使每一个自变量观测值都有5—6个 以上的因变量观察值与之对应。在这种情况下，所 有因变量观测值可以按不同自变量观测值分成许多 组，例如，共可分为G组。假设第i组共有ni个家庭 收入为xi，其中有ri个家庭已购买汽车，其余尚未 购买。 于是收入为xi 的家庭，购买汽车的概率的估计值为 （8.2.6） 这里是概率真值 pi 的估计值，显然，每组内家庭个数 不能太少，家庭个数越多，概率估计值越接近真值。 因为(8.2.5)式可近似表示为： （8.2.7） 于是，(8.2.5)式可以表示为： （8.2.8） 因此可用估计普通线性模型的方法求出β0和β1 的估计值。 但必须指出，这一方法能否正确得出参数估计值 的关键是每一个自变量xi所对应的因变量观察值不 能少于5或6个。 此种方法，显然可以推广到多个自变量的情况。 (二)因变量观测值不能重复观测的情况 如果样本容量不够大，以至每个自变量观测值只对 应一个或很少几个因变量观测值，分组就不可能实现 了。这时可采用极大似然法估计模型（8.2.5)。我们 仍以消费者是否购买汽车为例进行讨论。 1.建立似然函数 对第i个消费者进行观测所得到的结果只有两种情况： 已经购买汽车，即yi = 1，或者尚未购买汽车，即yi = 0。 设yi = 1的概率为pi，则yi = 0的概率为(1- pi)，于是变 量y服从两点分布，其概率分布列为： （8.2.9） 所谓似然函数，就是样本中全部观测值的联合分布 （此时参数是未知的）： （8.2.10） 由(8.2.1)知，pi可以表示为， 所以(8.2.10)可以表示为： （8.2.11） 2.极大似然估计 极大似然估计的基本思想是：我们观测到的样本应 该是出现概率最大的样本。 本问题中，既然来自总体的样本具有概率分布(8.2.11)， 我们应该要求参数β0和β1的取值使(8.2.11)达到极大 值，满足上述极值条件求出的β0和β1的估计量，称 为极大似然估计量。 对(8.2.11)式两边取对数： （8.2.12） (8.2.12)分别对参数β0和β1求导数，可得极值条件的 表达式： （8.2.13） 其中 (8.2.14) 由(8.2.14)有关系： (8.2.15) 把(8.2.15)代入(8.2.13)得到化简了的正规方程： (8.2.16) 因为 是β0和β1的非线性函数， 所以，(8.2.16)是β0和β1的非线性方程组，线性方 程组的解法已不适用，但是，我们可以用线性迭代 法近似求解。 设 和 分别代表β0和β1的真值，将 在 ( ， )点邻域泰勒(Taylor)展开，并取线性近 似，得到β0和β1的极大似然估计值： （8.2.17） *